Có thể suy nghĩ như một con cua được không?
27 tháng 2 năm 2009
Chúng ta diễn đạt, trong nhiều cách khác nhau, bằng ngôn ngữ, và ngôn ngữ này được cho là phản ánh cấu trúc logic của chúng ta. Trong ngôn ngữ của chúng ta, chúng ta đã tạo ra một cấu trúc nhị phân, với CÓ và KHÔNG, ĐÚNG và SAI, dẫn đến "tư duy theo Aristotle", theo đó mọi phát biểu (một nhà logic sẽ gọi là "phán đoán") chỉ có thể là ĐÚNG hoặc SAI. Điều này được gọi là
nguyên lý loại trừ trung gian.
Thật không may, thực tế không tuân theo lý thuyết, và cách diễn đạt của chúng ta đầy rẫy những phát biểu không thể xác định được, tức là không phải đúng cũng không phải sai, ví dụ như:
Tôi đang nói dối
Trong hơn một thế kỷ qua, các nhà logic đã nỗ lực hết mình để cố gắng xây dựng những hệ thống logic phi nhị phân. Hãy xem xét một ví dụ về logic tam giá trị, đó là
logic mờ,
với các giá trị chân lý là
Đúng Không xác định Sai
một hệ logic đã chứng minh được tính khả thi trong các thiết bị tự động, kiểm soát quá trình (trong kỹ thuật).
Cũng có những nỗ lực xây dựng một logic tứ giá trị, với giá trị chân lý phổ biến nhất là:
Đúng
Sai
Vừa đúng vừa sai
Không đúng cũng không sai
Một nỗ lực mở rộng nhưng không mang lại hiệu quả.
Trong tác phẩm của mình:
Để liên hệ trực tiếp với tác giả:
Sửa lỗi
Tác giả thông báo rằng có một lỗi trong một trong các bảng biểu được trình bày trong sách của ông. Đó là bảng ở trang 29, bản màu nằm ở trang 135.
Trước tiên, xin cảm ơn sự quan tâm của bạn dành cho công trình này, và việc bạn đã chọn mua cuốn sách.
Đó là những điều xảy ra... Có một lỗi chính tả đáng kể! Dòng thứ ba, cột thứ ba, thay vì số 1 lại nhầm lẫn là số 0. Sẽ có thông báo sửa lỗi đến tất cả trong vài ngày tới.
Hơn nữa, các ký hiệu = và || nằm ở hai đường chéo: khi nhìn theo một đường chéo thì hai vạch kép tạo thành ký hiệu =, còn khi nhìn theo đường chéo kia thì tạo thành ||, cần hiểu là "khác nhau" tại vị trí đó.
Hy vọng điều này sẽ giúp bạn tiếp tục đọc một cách hợp lý. Một lần nữa, xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất (và xin lỗi vì sự cố này!), và sẵn sàng hỗ trợ nếu bạn gặp lại bất kỳ nghi ngờ nào... hoặc một lỗi chính tả mới nào!
Hình 2.2, cần thay bằng bảng trên
Denis Seco de Lucena mời bạn khám phá một hành trình kỳ lạ, mà người đọc có thể không thoát khỏi nguyên vẹn. Bắt đầu từ việc xem xét ngôn ngữ – đó là cách tiếp cận của mọi nhà logic học. Tác giả đề xuất giới thiệu khái niệm mà ông gọi là
tính xuyên suốt.
Theo quan điểm này, mọi phát biểu, bất kể là gì, đều có thể được diễn đạt dưới bốn dạng đối xứng nhau từng cặp, tạo thành "hai cặp đối xứng". Có rất nhiều ví dụ trong ngôn ngữ, nhưng "phát biểu thứ tư" đôi khi khó diễn đạt, thậm chí không tương ứng với bất kỳ tính từ nào hiện có trong ngôn ngữ.
Hãy bắt đầu bằng những ví dụ rõ ràng về "tính xuyên suốt". Lấy ví dụ khái niệm chuyển động. Có bốn cách để "chuyển động":
Tiến lên
Lùi lại
Đứng yên
Chuyển động
Ngay lập tức ta thấy rõ các cặp đối xứng: lùi lại là ngược lại của tiến lên, và ngược lại. Chuyển động là ngược lại của đứng yên, và ngược lại.
Nếu xét theo topo học, ta sẽ có bốn trạng từ hoặc cụm trạng từ:
Bên ngoài
Bên trong
Ở biên giới
Ở nơi nào đó khác
29 tháng 2 năm 2010
: Người bạn Jacques Legalland gợi ý rằng phát biểu thứ tư nên được diễn đạt tốt hơn bằng cách viết:
Bên ngoài
Bên trong
Ở biên giới
Không ở đâu cả
Nếu xét theo màu sắc:
Trắng
Đen
Xám
Có màu
27 tháng 2 năm 2010: Jie gợi ý:
Trắng
Đen
Xám
Trong suốt
Chơi với khái niệm thời gian:
Trước
Sau
Bây giờ
Không bao giờ
Trạng từ "không bao giờ" là tương đương về mặt thời gian với cụm trạng từ "không ở đâu cả" (xem trên).
Cách nhìn này khiến tôi nhớ đến văn bản Ummite về logic, mà nếu tôi không nhầm, đã đề cập đến bốn giá trị chân lý:
Đúng
Sai
Vừa đúng vừa sai
Không thể dịch được
Nếu ta quay lại các giá trị chân lý trong logic tứ giá trị cổ điển:
Đúng
Sai
Vừa đúng vừa sai
Không đúng cũng không sai
27 tháng 2 năm 2010: Cần diễn giải lại giá trị thứ tư là "không phù hợp với kiểu phân loại này":
Đúng
Sai
Vừa đúng vừa sai
Không phù hợp với kiểu phân loại này
Xét các số thực. Chúng ta có:
Dương
Âm
Không (theo nghĩa vừa dương vừa âm)
Phát biểu thứ tư có thể là:
Dương
Âm
Không (theo nghĩa vừa dương vừa âm)
Ảo
Chuyển sang khái niệm suy diễn:
Kéo theo
Bị kéo theo bởi
Có liên quan tình cờ đến
Không liên quan gì đến
Ta thấy rõ bốn cách "nói" khác biệt với logic tứ giá trị "cổ điển" được đề cập ở trên. Sự đối xứng của hai phát biểu cuối khác nhau. Tác giả đề xuất gọi các cặp phát biểu, các tính từ này là "xuyên suốt".
Cách trình bày của chúng tôi không giống cách tác giả sử dụng trong cuốn sách của mình – tôi khuyến khích bạn đọc cuốn sách đó. Nhưng ngay lập tức bạn sẽ tự hỏi: "Điều gì ẩn giấu đằng sau điều này?". Câu hỏi này sẽ đưa bạn đi rất xa... Tác giả, một nhà khoa học, đã tìm thấy điểm khởi đầu từ một bức thư mà tôi nhận được năm 1992 từ những người bí ẩn tự xưng là "Ummite", thư được gửi từ Riyadh, Ả Rập Xê Út. Với những ai chưa biết câu chuyện này, nên nhắc lại bối cảnh. Trong khối tài liệu được mang về từ Tây Ban Nha từ giữa những năm 1970, các tác giả của các văn bản này nhấn mạnh rất nhiều đến việc phải từ bỏ logic Aristotle và chuyển sang một
logic tứ giá trị.
Nhiều năm liền, tôi đã cố gắng bằng nhiều phương pháp khác nhau. Năm 1992, tôi có một máy Mac Intosh thế hệ đầu tiên, chạy ở 2 MHz, hoàn toàn không có modem hay bất kỳ phương tiện nào để giao tiếp với bên ngoài. Trong máy tính này, tôi ghi lại những suy nghĩ mà chỉ riêng tôi biết. Bị thôi thúc bởi định lý Gödel, tôi nhớ lại rằng định lý này dựa trên số học (thao tác với các số tự nhiên), được tiên đề hóa vào cuối thế kỷ trước bởi nhà toán học Peano. Nhà toán học Gauss đã từng phát minh ra thứ mà ngày nay gọi là "các số Gauss", tức là các số phức có giá trị nguyên.
Tôi nhận thấy rằng thông thường người ta xem các số Gauss này như các cặp số tự nhiên (a, b), và chưa từng có nỗ lực tiên đề hóa nào được thực hiện để xây dựng chúng theo cách khác ngoài việc quyết định cho chúng "hai số nguyên".
Vài ngày sau khi ghi những suy nghĩ này vào ổ cứng, tôi bất ngờ nhận được một bức thư gửi từ Ả Rập Xê Út, trong đó đề cập đến chính những suy nghĩ ấy.
Nội dung bức thư
Thật ra, Denis – người là nhà khoa học – đã tìm thấy điểm khởi đầu cho hành trình kéo dài mười năm trong cuốn sách ông vừa xuất bản, bắt nguồn từ bức thư kỳ lạ này. Vì nguồn gốc mang tính kỳ lạ, nếu không nói là gây tranh cãi, nên hiểu được lý do ông quyết định xuất bản dưới bút danh.
Bạn có nhớ một cuốn sách của Jules Verne: "Hành trình đến trung tâm Trái Đất", nơi các nhân vật chính chơi với một thông điệp bí ẩn để lại bởi Aarne Saknudsen. Kết hợp các phần tử của nó, họ cuối cùng tìm ra con đường dẫn đến trung tâm Trái Đất. Vì vậy, hãy chuẩn bị tinh thần cho điều tương tự trong cuốn sách của Denis.
Ông không phải người đầu tiên thử sức, nhưng cho đến nay mọi nỗ lực đều vô hiệu, dù đôi khi có vẻ hấp dẫn. Tôi nghĩ đến nỗ lực của nhà toán học người Canada Norman Mohlant trên trang web ummo.science. Một nhà toán học sẽ nói: "Ta có thể tạo ra các đại số vô hạn", và chơi với chúng như chơi với bộ lego. Nhưng việc xây dựng các phần tử mới cho một bộ lego thì lại là chuyện khác.
Điều gì đặc biệt trong công trình của Denis?
Anh bắt đầu bằng việc tìm thấy, trên con đường được chỉ ra trong bức thư từ Riyadh, con đường dẫn đến các đối tượng toán học do nhà toán học Ireland Hamilton phát minh năm 1843: các
số tứ nguyên
. Chúng thường xuất hiện trong các sách dưới dạng một dạng mở rộng của số phức:
Q = a + b i + c j + d k
với
i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k, i j² = k
j i j = -j i (tính phản giao hoán)
j k = i, j k = -k j
k i = j, k i = -i k
Các phép nhân là
phản giao hoán
Khi Hamilton phát minh ra các số tứ nguyên và khám phá ra sự phong phú vô hạn của chúng, ông bị mê hoặc đến mức tự nhủ:
- Tất cả điều này chắc chắn phải có ứng dụng trong vật lý, nhưng làm sao biết được là gì?
Ông đương nhiên không thể tưởng tượng được rằng mối liên hệ này sẽ được thiết lập khi cơ học lượng tử ra đời. Thật vậy, ví dụ như các ma trận Pauli là các số tứ nguyên.
Tác giả chỉ ra cách các suy nghĩ thuần túy hình học, dựa trên nội dung bức thư, có thể dẫn đến việc xây dựng hình học của các số tứ nguyên (thông qua một "mặt phẳng phức hai mặt vuông góc"). Cuốn sách mang tên "Bí mật của bức thư từ Riyadh". Bí mật này được đề cập ở đây. Trong bức thư nói về định lý nổi tiếng của Fermat, nói rằng phương trình với giá trị nguyên
a^n = b^n + c^n
chỉ có nghiệm khi n nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Nhà toán học Lagrange là tác giả của một định lý tương tự, mà Fermat từng đưa ra trước đó như một giả thuyết, cụ thể là mọi số nguyên đều là tổng của bốn bình phương.
N (số nguyên bất kỳ) = a² + b² + c² + d²
Cần phải bao gồm số 0 trong các số này, để:
3 = 1² + 1² + 1² + 0²
Một chứng minh sau đó của Lagrange sử dụng các số tứ nguyên, với lập luận quy nạp.
Tôi rất mong Denis tìm ra cách chứng minh định lý Lagrange bằng cách dùng số tứ nguyên, và đăng lên trang web của ông.
Giả sử một số tứ nguyên:
Q = (a, b, c, d)
Ta định nghĩa liên hợp của nó là:
liên hợp của Q = Q* = (a, -b, -c, -d)
Denis đưa ra một giả thuyết rằng định lý Fermat, dưới dạng được ông nêu ra, là hệ quả phụ của một cách viết bằng số tứ nguyên, theo đó phương trình:
(Q₁Q₁)ⁿ = (Q₂Q₂)ⁿ + (Q₃Q₃)ⁿ
với các số tứ nguyên có thành phần nguyên, chỉ có nghiệm khi n nhỏ hơn hoặc bằng 2.
27 tháng 2 năm 2010: Tôi nhận thấy hai phát biểu này tương đương nhau, vì mô đun của một số tứ nguyên (a, b, c, d) là a² + b² + c² + d² – chính là một số nguyên theo định lý Lagrange.
Phần chú thích này có thể khiến người đọc bình thường cảm thấy khó chịu. Nhưng thực tế, toàn bộ tác phẩm vẫn rất dễ tiếp cận. Các ví dụ đa dạng về tính xuyên suốt tạo nên một trò chơi với ngôn ngữ rất thú vị và kích thích, và người đọc có thể vui vẻ tìm thêm các ví dụ tương tự. Các sơ đồ hình học cũng rất rõ ràng.
Cuốn sách này dường như là viên gạch đầu tiên trong một công trình lớn hơn, mở ra hướng tư duy khác biệt.
Để đặt mua sách (18 euro bao gồm phí vận chuyển, 144 trang):
2 tháng 3 năm 2009:
Một độc giả, ông Christian Pedro, đã cung cấp một tệp PDF chứa chứng minh định lý bốn bình phương của Lagrange.
Định lý bốn bình phương của Lagrange
Ghi chú khác: Tích các mô đun của hai số tứ nguyên bằng mô đun của tích chúng. Chứng minh do nhà toán học Euler (1750) đưa ra.
(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =
(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² +
(a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² +
(a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² +
(a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²
Điều này có nghĩa là mô đun của tích hai số tứ nguyên:
A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)
là mô đun của số tứ nguyên:
C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄,
a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃,
a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃,
a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)
Ông Pedro nghi ngờ rằng một cách tiếp cận dựa trên số tứ nguyên có thể dẫn đến một chứng minh tương đối đơn giản (so với chứng minh của Wiles, kéo dài hàng trăm trang!) dù hàng ngàn nhà toán học đã thất bại trước bài toán này.
Tôi không có ý kiến. Nhưng tôi sẽ đưa ra hai nhận xét.
Ta biết rằng các số tự nhiên có thể được viết trong bất kỳ cơ số nào, đặc biệt là các số nguyên tố vẫn giữ tính chất này bất kể cơ số nào. Vì vậy, hãy chọn cơ số đơn giản nhất: cơ số hai, với hai phần tử: 0 và 1.
Nhà toán học người Ý Giuseppe Peano (1858–1932) đã đưa ra
năm tiên đề
là nền tảng cho số học của các số tự nhiên.
Nhà toán học người Ý Giuseppe Peano
-
Phần tử gọi là không và ký hiệu: 0, là một số tự nhiên.
-
Mọi số tự nhiên n có một người kế tiếp duy nhất, ký hiệu là s(n) hoặc Sn.
-
Không có số tự nhiên nào có 0 làm người kế tiếp.
-
Hai số tự nhiên có cùng người kế tiếp thì bằng nhau.
-
Nếu một tập hợp các số tự nhiên chứa 0 và chứa người kế tiếp của mỗi phần tử trong tập hợp đó, thì tập hợp đó bằng N.
Tiên đề đầu tiên cho phép khẳng định rằng tập hợp các số tự nhiên không rỗng, tiên đề thứ ba cho thấy nó có phần tử đầu tiên, và tiên đề thứ năm cho thấy nó thỏa mãn nguyên lý quy nạp.
Dựa trên năm tiên đề này, số học Peano dẫn đến một logic bậc nhất, vốn không thể tránh khỏi
định lý bất toàn của Gödel.
Điều đã khiến bức thư từ Riyadh được gửi đi là nhận xét của tôi về các số Gauss z = a + i b, trong đó a và b là các số tự nhiên.
Tôi tưởng rằng không tồn tại một tiên đề hóa phù hợp với số học của các số Gauss – mà tôi cho là được xây dựng bằng "hai lần số học Peano", điều này khác biệt.
Theo quan điểm này, các số Gauss không còn là "những điểm trên một lưới đều" nữa, mà trở thành các
cặp điểm (a, b) nằm trên những đoạn thẳng bị phân đoạn. Số học của các số Gauss vì thế trở thành "hai lần số học Peano".
Bây giờ tôi đặt câu hỏi:
- Liệu có tồn tại một tập hợp tiên đề định nghĩa số học của các số tứ nguyên nguyên không? Nếu có, thì logic đó sẽ dẫn đến loại logic nào? Logic này có phải là tứ giá trị không? Và liệu nó có hoàn chỉnh không – tức là ngoài bốn giá trị chân lý này, không còn giá trị thứ năm nào tồn tại, hay nói cách khác, không còn phát biểu nào không thể xác định được và không nằm trong bốn trường hợp tạo thành bộ lọc logic tứ giá trị?
Tôi không thể tham gia vào các thảo luận về những câu hỏi này với độc giả, vì tôi quá bận rộn soạn một album mới dành riêng cho cơ học chất lỏng. Với mọi câu hỏi kiểu này, hãy liên hệ trực tiếp với tác giả cuốn sách, Denis.
Tuy nhiên, trong album này, tôi sẽ chứng minh rằng ngay cả vào cuối những năm 1950 (khi tôi là sinh viên tại Trường Kỹ thuật Hàng không Quốc gia Paris), một số khái niệm mà ngày nay đã
hoàn toàn được tích hợp vào thế giới hàng không
– cả dân dụng lẫn quân sự – lại bị các giáo sư của tôi coi là vi phạm các định luật vật lý.
Tôi cũng sẽ trích dẫn nhận xét của một người tên Couturier, hiện nay tôi nghĩ là giám đốc Đài thiên văn Paris, người đã nói với tôi vào năm 1976 về lý thuyết của tôi về việc triệt tiêu sóng xung kích bởi lực Laplace:
- Điều đó vô lý. Sóng xung kích của bạn phải tồn tại ở đâu đó chứ...
Có lẽ toán học và vật lý cũng có thể giúp "rút ra một con thỏ từ chiếc nón hai lớp", mà ta tưởng đã khám phá kỹ lưỡng từ lâu.
Tin mới
Hướng dẫn
Trang chủ