Lật ngược mặt cầu và nhúng chai Klein
Lật ngược mặt cầu
7 tháng 12 năm 2004
Trang 1
Giới thiệu
Trong phần tiếp theo, ta sẽ xem xét các bề mặt kín như mặt cầu, torus và một vài bề mặt khác. Đây là những bề mặt theo nghĩa mà người bình thường hiểu, tức là các đối tượng hai chiều được biểu diễn trong không gian Euclid ba chiều, R³, chính là không gian tưởng tượng của chúng ta. Những bề mặt này có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Nếu bề mặt không tự cắt nhau thì ta nói nó được nhúng (trong R³). Nếu nó tự cắt nhau thì ta nói đó là nhúng và sự cắt nhau đó được thể hiện bằng một tập hợp tự giao nhau (self-intersection).
Trong các nhúng của chúng ta, ta giả sử rằng mặt tiếp tuyến thay đổi liên tục và bề mặt không có các điểm kỳ dị như đỉnh của một hình nón. Các bề mặt của ta sẽ là trơn.
Trong trường hợp nhúng, ta yêu cầu rằng dọc theo các đường tự giao, hai mặt tiếp tuyến của hai lớp bề mặt cắt nhau phải khác nhau.
Thế giới hình học, như toán học tưởng tượng, khá khác biệt với thế giới vật lý. Việc bề mặt có thể tự xuyên qua chính nó không làm phiền toán học. Thế giới vật lý không cho phép điều này. Nhưng điều này trở nên khả thi trong thế giới siêu hình. Trong Kinh Thánh, người ta đọc được rằng khi người chết sống lại, họ sẽ có thân thể "vinh quang". Họ sẽ có thể đi xuyên qua bất cứ thứ gì và nói chung có thể tự xuyên qua chính mình. Vì vậy, khi thời gian Phán xét Cuối cùng đến, nếu bạn đi dạo ở Rome dưới hình dạng thân thể vinh quang, và bạn bị lạc, đang tìm kiếm quảng trường Navona, bạn có thể bị cám dỗ hỏi đường một người đã chết khác, người có vẻ ngoài giống bạn. Giả sử người mà bạn hỏi đang đi theo hướng ngược lại so với quảng trường đó. Trong không gian vật lý thông thường, để chỉ đường đúng, người đó phải xoay người để chỉ tay về hướng đó. Nhưng nếu anh ta đi dưới hình dạng thân thể vinh quang, việc xoay người sẽ không còn cần thiết. Anh ta có thể chỉ tay vào rốn mình và tự xuyên qua chính mình. Khi tay anh ta xuất hiện trở lại từ lưng, anh ta chỉ cần nói với bạn: "Đi theo hướng đó". Bằng cách đưa tay xuyên qua bụng, anh ta đã tạo ra trong thân thể mình một tập hợp tự giao gồm hai đường tròn, sẽ biến mất khi anh ta trở về hình dạng bình thường.
Nếu một con người khép miệng, dùng kẹp phơi quần áo bịt mũi để bịt kín, và ta bỏ qua các lỗ tự nhiên khác, thì bao bọc cơ thể sẽ có cấu trúc tôpô giống như mặt cầu S². Hãy tưởng tượng một sinh vật sống lại dưới hình dạng thân thể vinh quang, các lỗ tự nhiên bị bịt kín như vậy. Chúng ta biết rằng nó có thể tự xuyên qua chính mình, tức là bao bọc cơ thể có thể chuyển từ trạng thái nhúng sang trạng thái nhúng. Một trong những vấn đề siêu hình đặt ra là liệu một người sống lại dưới hình dạng thân thể vinh quang có thể lật ngược cơ thể mình mà không tạo nếp gấp hay không.
Một nhận xét nhỏ: các ảo thuật gia biết cách sử dụng những "vòng tròn ma thuật" có thể xuyên qua nhau một cách "ma thuật". Ta có thể tưởng tượng biểu diễn các bề mặt bằng một loại "lưới ma thuật" sao cho hai lớp, được thể hiện ở đây bằng màu đen và màu hồng, có thể xuyên qua nhau một cách dễ dàng.
Lưới ma thuật
Dù sao đi nữa, ta phải thừa nhận rằng đôi khi không có nhiều khác biệt giữa toán học và phép thuật. Tôi đã sáng tác một truyện tranh cách đây hai mươi năm: Topologicon. Hiện nay nó đã hết in và gần như không thể tìm thấy, ngoại trừ như một vật lưu niệm. Trên một trang trong truyện, ta có thể thấy điều này:
Thật đáng tiếc khi nhà xuất bản Belin quyết định từ bỏ bộ truyện này. Phải nói rằng với chi phí sản xuất chỉ hơn một euro, bán mỗi tập với giá 13 euro (cộng thêm phí vận chuyển), bán qua bưu điện, ngoài việc để lại lợi nhuận 12 euro, tức là lợi nhuận vượt quá 92% giá bán, thì điều này không phải là một chiến lược kinh doanh rõ ràng, đặc biệt là với bản in đen trắng.
Xét một mặt cầu S² được nhúng trong R³. Ta giả sử bề mặt ngoài là màu xám và bên trong có màu hồng nhạt. Ta có thể ấn vào hai điểm đối cực, mà ta tạm gọi là "cực bắc" và "cực nam", cho đến khi chúng chạm nhau tại một điểm. Ta có thể làm điều này bằng một chiếc bánh donut. Khi nói đến bánh donut toán học (ta không biết liệu bánh donut có sống lại dưới hình dạng thân thể vinh quang hay không), hai vùng cực sau khi chạm nhau tại một điểm có thể tự xuyên qua theo một đường tự giao, tạo thành hình tròn. Dự báo trước, ta nói rằng bề mặt này đã trải qua một tai nạn kiểu Do.
Ta có thể bị cám dỗ thử lật ngược chiếc donut, mặt cầu, bằng cách tiếp tục thao tác này. Nhưng lúc đó một nếp gấp sẽ hình thành, dần trở thành một nếp gấp xấu xí, hay chính xác hơn là một bề mặt quay ngược (hình d).
Vào cuối những năm 1950, câu hỏi nghiêm trọng về việc liệu có thể lật ngược các donut siêu hình mà không tạo nếp gấp vẫn chưa được giải quyết. Thực tế, mọi người đều nghĩ rằng điều này hoàn toàn bất khả thi. Nhưng vào năm 1957, một nhà toán học, Stephen Smale (người đã nhận Huy chương Fields nhưng cho một công trình khác), đã chứng minh rằng các nhúng khác nhau của mặt cầu S² trong R³ tạo thành một tập hợp duy nhất và luôn luôn có thể tìm được một chuỗi biến dạng liên tục của các nhúng (còn gọi là đồng luân trơn) để chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác. Hệ quả là ta phải có thể chuyển từ nhúng chuẩn của mặt cầu S² sang nhúng đối cực bằng một chuỗi nhúng liên tục. Nói một cách đơn giản hơn: ta phải có thể lật ngược một mặt cầu mà không tạo nếp gấp, miễn là cho phép nó tự lật ngược chính mình.
Giáo sư của Smale tên là Raoul Bott. Ông hỏi học trò mình phải làm thế nào, và Smale trả lời rằng ông không hề có ý tưởng nào, nhưng định lý của ông hoàn toàn không thể bị bác bỏ. Smale không hề hình dung trong không gian, nhưng ông cũng chẳng quan tâm (như nhiều nhà hình học khác). Và, nếu nói thẳng ra, sau khi chứng minh định lý, ông đã chế giễu cách thức thực hiện điều đó, và nhanh chóng chuyển sang một chủ đề khác, để lại các đồng nghiệp toán học trong sự bối rối lớn. Tôi thấy điều này không phải là điều tử tế khi tạo ra một vấn đề như vậy rồi để người khác tự tìm cách giải quyết, mười năm sau.
Phải nói rằng, việc tưởng tượng các nhúng trong đầu là khá khó khăn. Tuy nhiên, ta biết có những bề mặt chỉ có thể được biểu diễn trong R³ theo cách này. Chai Klein, ví dụ.
Chai Klein
Ở đây ta biểu diễn nó bằng một hệ lưới-tọa độ gồm hai tập hợp đường cong kín, giống như torus. Ta có thể lưới hóa một chai Klein mà không tạo ra điểm kỳ dị nào. Nhưng như ta thấy, bề mặt này buộc phải tự xuyên qua theo một đường cong kín, một đường tròn. Do đó, ta không thể nhúng một chai Klein vào R³. Tôi đã thử, nhưng không được. Ta chỉ có thể nhúng nó. Nhờ tài năng vẽ của tôi, bạn có thể hình dung được vật thể này một cách tương đối. Nhưng khi phải lật ngược một mặt cầu, ta phải xem xét các cấu hình phức tạp hơn nhiều. Cách biểu diễn chúng không phải là điều dễ dàng. Một số người dùng đất sét. Khi thấy họ tranh luận với nhau tại các hội nghị, họ thường tách ra, mở ra trước mặt đồng nghiệp những hộp giày hoặc hộp nón, chứa các vật thể khá kỳ quái. Hình vẽ trên gợi ý cách thuận tiện nhất để xây dựng và thao tác các vật thể này: dùng loại "dây đồng thau", một hợp kim đủ mềm để uốn cong dễ dàng nhưng vẫn giữ được độ đàn hồi. Cách tốt nhất là tạo các điểm giao nhau của các đường (chúng tôi khuyên dùng thanh 2 mm đường kính) bằng cách cố định bằng dây buộc. Ưu điểm là ta có thể trượt chúng, ít nhất cho đến khi ta cho rằng vật thể đã có hình dạng cuối cùng. Sau đó, ta có thể loại bỏ mọi trượt bằng cách dùng một giọt keo.
Trong thực tế, rất hiếm khi ta phải dùng đến chai Klein. Dưới đây là một bức ảnh chai Klein mà tôi dùng cho nhu cầu cá nhân.
Những vật thể này, nếu bạn có chút cảm nhận về hình dạng, khá đẹp. Tôi đã từng cho làm một số chiếc khi tôi là giáo viên điêu khắc tại Trường Mỹ thuật Aix-en-Provence. Nhưng trước khi tôi chuyển sang kỹ thuật này, chúng tôi đã thử nhiều cách, trộn lẫn dây thép mềm và giấy carton, tạo ra kết quả thẩm mỹ khá đáng tiếc. Tôi nhớ có một lần tôi phải đi tàu từ Marseille để đưa đến Paris cho người bạn toán học quá cố André Lichnérowicz một vài bề mặt mà tôi đã xây dựng được hình ảnh khá rõ ràng. Trong số đó có bề mặt Boy mà tôi đã dán một bản đồ tập trung vào một cực duy nhất. Cuối cùng, nó trở thành một vật thể tuyệt đẹp, được trưng bày trong 20 năm tại phòng pi của Cung điện Khám Phá ở Paris. Nhưng cách đây một năm, ban quản lý bảo tàng cho rằng bề mặt này đã lỗi thời, và giờ nó đang nằm trong kho hoặc hầm. Tôi hy vọng nó không bị nghiền nát trong quá trình vận chuyển. Tất cả những điều này để nói rằng giờ đây bạn sẽ không thể thấy bề mặt Boy ở đâu cả, ngoại trừ trong sách hoặc trên một đĩa CD-ROM mà tôi đã ghi lại 18 truyện tranh khoa học của mình dưới dạng PDF, trong đó có Topologicon. Làm thế nào để có được đĩa CD-ROM này.
Nhưng quay lại chuyến đi mà tôi đã thực hiện, từ Marseille đến Paris. Tôi đã quá tải với hai chiếc vali, và quyết định mang theo ba mô hình. Cách duy nhất là buộc chúng quanh cổ. Nhưng khi tôi đi qua hành lang nhà ga và thấy người ta nhìn tôi như thế nào, tôi hiểu rằng họ tưởng mình đang đối diện với một kẻ điên vừa được trại tâm thần cho phép ra ngoài. Việc cố gắng giải thích ngược lại là vô ích, và tôi phải chịu đựng nỗi đau này với tất cả sự kiêu hãnh có thể.
Điều thú vị là những người xây dựng các vật thể như vậy khá hiếm. Ở Mỹ có một nhà toán học tên là Charles Pugh, làm việc tại khoa toán của Đại học Berkeley. Tôi sẽ có dịp nhắc đến ông sau này. Pugh thật tài năng với lưới cho gà, nhưng cá nhân tôi luôn thích kỹ thuật dây đồng thau hơn.
Quay lại chuyện lật ngược mặt cầu. Người đầu tiên thành công trong việc giải quyết vấn đề này là nhà hình học Anthony Phillips. Ông công bố công trình của mình, tức là một chuỗi tranh vẽ, trong một số của Scientific American vào năm 1967. Có nhiều cách để lật ngược một mặt cầu. Một cách là đưa mỗi điểm trên mặt cầu trùng với điểm đối cực của nó. Khi đó nó sẽ có hình dạng của bề mặt Boy. Tôi luôn mơ ước tìm được một nhà tài trợ để xây dựng một tác phẩm điêu khắc tuyệt đẹp mô tả một quả địa cầu được gập lại thành bề mặt Boy. Vì không thể xây dựng vật thể, tôi đã dùng nó làm hình bìa cho Topologicon:
Quả địa cầu được dán lại lên chính nó theo bề mặt Boy
Trong cấu hình này, nếu bạn đào một hố tại cực bắc, bạn sẽ lập tức xuất hiện ở phía bên kia, tại cực nam, vì hai điểm này là đối cực. Một người Pháp đào hố trong hầm sẽ lập tức xuất hiện ở New Zealand, v.v.
Phiên bản tìm ra bởi Anthony Phillips thực sự mô tả cách mặt cầu hình thành một nhúng hai lớp của bề mặt Boy, rõ ràng là một bề mặt một mặt. Nếu ta có một sản phẩm ma thuật, traversine, cho phép bề mặt có khả năng tự xuyên qua chính nó, ta chỉ cần nối mỗi điểm với điểm đối cực của nó bằng một sợi dây, sau đó làm dây co lại cho đến khi độ dài bằng không. Nếu ta không thể dễ dàng biểu diễn sự biến đổi này, ta vẫn có thể quan tâm đến một phần của mặt cầu, ví dụ như vùng xung quanh xích đạo. Điều này đã được thực hiện trong các hoạt hình tiếp theo. Bề mặt này, có hai biên tròn, trông giống như vành xe đạp. Ta đã thể hiện ba bán kính, nối với các điểm đối diện. Khi độ dài các bán kính tiến đến không, dải hai mặt này sẽ hình thành một nhúng hai lớp của dải Möbius ba nửa vòng. Dưới đây là hai hoạt hình khá thô. Bên trái chậm, bên phải nhanh.
Dải Möbius ba nửa vòng là "vùng xung quanh xích đạo" của bề mặt Boy. Đây là nơi mà xích đạo của mặt cầu quấn quanh.
"Xích đạo" của bề mặt Boy
Còn hai cực của mặt cầu thì trùng nhau tại cực duy nhất của bề mặt. Bề mặt này, giống như chai Klein, không thể nhúng vào R³. Nó chỉ có thể được biểu diễn dưới dạng một nhúng. Khi đó nó có một tập hợp tự giao hình dạng một xoắn ốc ba cánh, mà ta thấy các đầu mút, trông giống như "tai" của ba "tai" hình tròn. Trong các trang tiếp theo, bạn sẽ tìm thấy một số yếu tố giúp hiểu rõ hơn bề mặt này. Nếu gặp khó khăn, hãy tìm một bản Topologicon.
Ở trên bên trái là bề mặt Boy. Vì bề mặt này là một mặt, ta không thể dùng hai màu. Ở b là tập hợp tự giao dạng ba cánh, gợi nhớ đến các cánh của một xoắn ốc ở b. Đường cong tự giao tại một điểm ba lần T. Các hình vẽ tiếp theo giúp người đọc dễ theo dõi.
Tất cả những gì có thể để minh họa cấu trúc của một bề mặt: các dải, lắp ráp bằng các mảnh ghép. Ta thấy một điêu khắc gia sẽ tìm thấy niềm vui với vật thể thực sự hấp dẫn này. Một lời nhắc nhỏ về lịch sử của nó. Năm 1901, một sinh viên của nhà toán học Đức nổi tiếng Hilbert, Werner Boy, đã trình bày trước ông một bề mặt mà chưa ai từng nghĩ đến. Kỳ nghỉ sắp đến. Hilbert nói với sinh viên:
- Vấn đề này có vẻ thú vị. Nếu cậu muốn, hãy quay lại gặp tôi khi trở lại, chúng ta sẽ thảo luận.
Kỳ nghỉ trôi qua, nhưng khi trở lại, Boy không xuất hiện. Sau hai tháng, Hilbert cố tìm anh ta. Các sinh viên khác báo địa chỉ, ông đến đó. Nhưng người giữ nhà nói rằng chàng trai Werner Boy đã trả lại chìa khóa trước mùa hè và chưa bao giờ quay lại. Mọi nỗ lực tìm kiếm đều vô ích, cả việc tìm gia đình anh ta cũng vậy. Anh ta biến mất hoàn toàn. Nếu bạn đến Đức, đừng hy vọng tìm thấy mộ của người phát minh vĩ đại này: nó không tồn tại.
Trong hình cuối cùng, ở dưới bên phải, ta đã thể hiện bề mặt Boy bằng màu trắng, và hai mặt của mặt cầu bao phủ nó bằng màu xám và hồng. Các điểm A và A' là đối cực trên mặt cầu này. Dù sao, ta cũng hiểu cách nhúng hai lớp của bề mặt Boy có thể dùng để lật ngược mặt cầu. Giả sử ta có chuỗi biến đổi, đồng luân trơn, giúp biến một mặt cầu hồng bên ngoài, xám bên trong thành hình ở dưới bên phải. Ta chỉ cần hoán đổi hai lớp (bằng cách cho chúng tự xuyên qua nhau), đặc biệt là các điểm A và A', rồi thực hiện các biến đổi ngược lại để đạt được nhúng đối cực của mặt cầu này, lần này với màu xám bên ngoài.
Theo cùng một logic, ta có thể mong đợi một torus có thể hình thành một nhúng hai lớp của một... chai Klein. Dưới đây là hình dạng của nhúng này.
Nhúng hai lớp của chai Klein
Nếu ta có thể hình thành một torus theo cách này, ta chỉ cần hoán đổi hai lớp kề nhau, nằm hai bên chai Klein (không được thể hiện ở đây), rồi thực hiện các thao tác ngược lại để đạt được torus đã lật ngược. Công trình này được trình bày trong số tháng 1 năm 1979 của Pour la Science, trong một bài viết ký tên B. Morin và J.P. Petit. Tôi phụ trách phần vẽ, Morin phụ trách phần văn bản. Dù ông đã trích dẫn nhiều người trong bài, ông đã quên mất tôi, và cũng quên không đề cập rằng tôi là người phát minh phần này của công trình, được trình bày trên trang 46 và 47. Nhưng đó là điều xảy ra khi hợp tác chặt chẽ với một đồng nghiệp. Bạn biết đấy: ta đã quen với sự hiện diện của nhau suốt nhiều năm, và quá lo lắng không để ai bị quên, cuối cùng lại quên chính người đó, như thể anh ta là một vật dụng trong nhà. Để biết thêm chi tiết, công trình này đã được xuất bản dưới tên tôi tại Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris ngày 20 tháng 11 năm 1978, với tiêu đề "Lật ngược không tầm thường của torus", bài báo được trình bày bởi học giả André Lichnérowicz.
Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ
Số lần truy cập trang này kể từ ngày 7 tháng 12 năm 2004: