Lật ngược mặt cầu và nhúng chai Klein
Lật ngược mặt cầu
7 tháng 12 năm 2004
trang 1
Giới thiệu.
Trong phần tiếp theo, ta sẽ xét các mặt kín như mặt cầu, mặt torus và một số mặt khác. Đây là những mặt theo nghĩa mà người bình thường hiểu, tức là các đối tượng hai chiều được biểu diễn trong không gian Euclid ba chiều, R³, chính là không gian tưởng tượng của chúng ta. Các mặt này có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Nếu chúng không tự cắt nhau thì ta nói chúng được nhúng (trong R³). Nếu chúng cắt nhau thì ta nói đó là nhúng và sự cắt nhau này được thể hiện qua sự hiện diện của một tập hợp tự giao (self-intersection).
Trong các nhúng của chúng ta, ta giả sử rằng mặt tiếp tuyến thay đổi liên tục và mặt không có các điểm kỳ dị như đỉnh của một hình nón. Các mặt của ta sẽ là trơn.
Trong trường hợp nhúng, ta yêu cầu rằng dọc theo các đường tự giao, hai mặt tiếp tuyến của hai lớp cắt nhau phải khác nhau.
Thế giới hình học, như nhà toán học hình dung, khá khác biệt với thế giới vật lý. Việc các mặt có thể tự xuyên qua chính nó không làm ông ta bận tâm chút nào. Thế giới vật lý không cho phép điều này. Nhưng điều này trở nên khả thi trong thế giới siêu hình. Trong Kinh Thánh, người ta đọc được rằng khi người chết sống lại, họ sẽ có thân thể "vinh quang". Khi đó họ có thể đi xuyên qua bất cứ thứ gì và về nguyên tắc có thể tự xuyên qua chính mình. Vì vậy, khi đến ngày Phán xét Cuối cùng, nếu bạn đi dạo ở Rome dưới hình dạng thân thể vinh quang, và bạn bị lạc, đang tìm kiếm quảng trường Navona, bạn có thể bị cám dỗ hỏi đường một người đã sống lại khác, có vẻ ngoài giống hệt bạn. Giả sử người mà bạn hỏi đang đi theo hướng ngược lại so với quảng trường đó. Trong không gian vật lý thông thường, để chỉ đường đúng, người đó phải xoay người lại để chỉ tay về hướng đó. Nhưng nếu anh ta đi dưới hình dạng thân thể vinh quang, thì sự xoay đó không còn cần thiết. Anh ta có thể chỉ tay vào rốn mình và tự xuyên qua chính mình. Khi tay anh ta xuất hiện trở lại từ lưng, anh ta chỉ cần nói với bạn: "đi theo hướng đó". Bằng cách đưa tay xuyên qua bụng, anh ta đã tạo ra trong thân thể mình một tập hợp tự giao gồm hai đường tròn, sẽ biến mất khi anh ta trở lại hình dạng bình thường.
Nếu một con người khép miệng, dùng kẹp phơi quần áo bịt mũi để bịt kín, và ta bỏ qua các lỗ tự nhiên khác trên cơ thể, thì bao bọc cơ thể anh ta sẽ có cấu trúc tôpô của mặt cầu S². Hãy tưởng tượng một sinh vật sống lại dưới dạng thân thể vinh quang, mà các lỗ tự nhiên của nó bị bịt kín như vậy. Chúng ta biết rằng nó có thể tự xuyên qua chính mình, tức là bao bọc cơ thể của nó có thể chuyển từ trạng thái nhúng sang trạng thái nhúng. Một trong những vấn đề siêu hình đặt ra là liệu một con người sống lại dưới dạng thân thể vinh quang có thể lật ngược chính mình mà không tạo nếp gấp hay không.
Một nhận xét nhỏ. Các ảo thuật gia biết cách sử dụng "vòng tròn ma thuật" có thể xuyên qua nhau một cách "ma thuật". Ta có thể tưởng tượng biểu diễn các mặt bằng một loại "lưới ma thuật" sao cho hai lớp, được biểu diễn ở đây bằng màu đen và màu hồng, có thể xuyên qua nhau một cách dễ dàng.
Lưới ma thuật
Dù sao đi nữa, ta cũng phải thừa nhận rằng đôi khi không có nhiều khác biệt giữa toán học và phép thuật. Tôi đã sáng tạo một truyện tranh cách đây khoảng hai mươi năm: Topologicon. Hiện nay nó đã hết in và không còn tìm thấy, ngoại trừ như một vật lưu niệm. Trên một trang trong truyện có hình ảnh như sau:
Thật đáng tiếc khi các nhà xuất bản Belin quyết định bỏ dở bộ truyện này. Phải nói rằng với chi phí sản xuất chỉ hơn một euro, bán mỗi tập 13 euro (cộng thêm phí vận chuyển), bán qua bưu điện, thì dù có lợi nhuận 12 euro, tức là lợi nhuận vượt quá 92% giá bán, cũng không phải là một chiến lược kinh doanh rõ ràng, đặc biệt là với bản in đen trắng.
Xét một mặt cầu S² được nhúng trong R³. Ta giả sử mặt ngoài của nó màu xám và mặt trong có màu hồng nhạt. Ta có thể ấn vào hai điểm đối cực, mà ta tạm gọi là "cực bắc" và "cực nam", cho đến khi chúng chạm nhau tại một điểm. Ta có thể làm điều này bằng cách dùng một chiếc bánh donut. Khi nói đến bánh donut toán học (ta không biết liệu bánh donut có sống lại dưới dạng thân thể vinh quang hay không), hai vùng cực sau khi chạm nhau tại một điểm có thể tự xuyên qua nhau theo một đường tự giao tạo thành hình tròn. Dự báo trước, ta nói rằng bề mặt này đã trải qua một tai nạn kiểu Do.
Ta có thể bị cám dỗ thử lật ngược chiếc donut, mặt cầu, bằng cách tiếp tục thao tác này. Nhưng khi đó một nếp gấp sẽ hình thành, dần dần trở thành một nếp gấp xấu, hay chính xác hơn là một mặt quay ngược (hình d).
Vào cuối những năm 1950, câu hỏi nghiêm trọng liệu có thể lật ngược các chiếc donut siêu hình mà không tạo nếp gấp vẫn chưa được giải quyết. Thật ra, mọi người đều nghĩ rằng điều này hoàn toàn bất khả thi. Nhưng vào năm 1957, một nhà toán học, Stephen Smale (người sau này được trao Huy chương Fields, nhưng vì một công trình khác) chứng minh rằng các nhúng khác nhau của mặt cầu S² trong R³ tạo thành một tập hợp duy nhất, và luôn luôn có thể tìm được một chuỗi biến dạng liên tục của các nhúng (còn gọi là đồng luân trơn) để chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác. Hệ quả là ta phải có thể chuyển từ nhúng chuẩn của mặt cầu S² sang nhúng đối cực bằng một chuỗi nhúng liên tục. Nói một cách đơn giản hơn: ta phải có thể lật ngược một mặt cầu mà không tạo nếp gấp, miễn là cho phép nó tự lật ngược chính mình.
Người thầy của Smale tên là Raoul Bott. Ông hỏi học trò mình phải làm sao, và Smale trả lời rằng ông không có chút ý tưởng nào, nhưng định lý của ông hoàn toàn không thể bị bác bỏ. Smale không nhìn thấy gì trong không gian, nhưng ông chẳng quan tâm (như nhiều nhà hình học khác). Và nếu nói thật, sau khi chứng minh định lý, ông đã hoàn toàn thờ ơ với cách thức cụ thể để hiện thực hóa điều đó, và nhanh chóng chuyển sang một chủ đề khác, để lại các đồng nghiệp toán học trong trạng thái bối rối nhất. Tôi thấy điều này không phải là điều tốt khi tạo ra một vấn đề như vậy rồi để người khác tự tìm cách giải quyết, mười năm sau.
Phải nói rằng việc tưởng tượng các nhúng trong đầu là khá khó. Tuy nhiên, ta biết có những bề mặt chỉ có thể được biểu diễn trong R³ theo cách này. Chai Klein, ví dụ.
Chai Klein
Ở đây ta biểu diễn nó bằng một hệ thống lưới-tọa độ gồm hai tập hợp đường cong kín, giống như mặt torus. Ta có thể lưới hóa một chai Klein mà không tạo ra điểm kỳ dị nào. Nhưng như ta thấy, bề mặt này buộc phải tự xuyên qua theo một đường cong kín, một đường tròn. Vì vậy, ta không thể nhúng một chai Klein vào R³. Tôi đã thử, nhưng không được. Ta chỉ có thể nhúng nó. Nhờ tài năng vẽ của tôi, bạn gần như có thể hình dung được vật thể này. Nhưng khi nói đến việc lật ngược một mặt cầu, ta phải xem xét các cấu hình phức tạp hơn nhiều. Cách biểu diễn chúng không phải là dễ dàng. Một số người dùng đất sét nặn. Khi thấy họ tranh luận với nhau tại các hội nghị, họ thường tách ra một chỗ riêng, mở ra những chiếc hộp giày hoặc hộp nón, chứa những vật thể trông khá kỳ dị. Hình vẽ trên gợi ý cách đơn giản nhất để xây dựng và thao tác các vật thể này: dùng "dây đồng mạ", một hợp kim đủ mềm để uốn cong dễ dàng nhưng vẫn giữ được độ đàn hồi. Cách tốt nhất là tạo các điểm giao nhau của các đường bằng cách cố định các thanh nhỏ (chúng tôi khuyên dùng thanh đường kính 2 mm) bằng dây buộc. Ưu điểm là ta có thể trượt các điểm này, ít nhất cho đến khi ta cho rằng vật thể đã đạt hình dạng cuối cùng. Sau đó, ta có thể loại bỏ mọi trượt bằng cách dùng một giọt keo.
Trong thực tế, ta hiếm khi phải dùng đến chai Klein. Dưới đây là một bức ảnh chai Klein mà tôi dùng cho nhu cầu cá nhân.
Những vật thể này, nếu bạn có chút cảm nhận về hình dạng, thì khá đẹp. Tôi đã cho làm một số chiếc khi tôi còn là giáo viên điêu khắc tại Trường Nghệ thuật Aix-en-Provence. Nhưng trước khi tôi chuyển sang kỹ thuật này, đã có nhiều lần thử nghiệm, chúng tôi trộn lẫn dây sắt mềm và giấy cứng, cho ra kết quả thẩm mỹ khá đáng lo ngại. Tôi nhớ có một lần tôi phải đi tàu từ Marseille đến Paris để mang đến cho người bạn toán học quá cố André Lichnérowicz một số bề mặt mà tôi đã tạo ra một cách thuyết phục. Trong số đó có bề mặt Boy, mà tôi đã dán bản đồ tập trung tại một cực duy nhất. Cuối cùng, nó trở thành một vật thể tuyệt đẹp, được trưng bày trong 20 năm tại phòng pi của Bảo tàng Khám phá ở Paris. Nhưng cách đây một năm, ban giám đốc bảo tàng cho rằng bề mặt này đã lỗi thời, và nó hiện đang nằm trong kho hoặc trong hầm. Tôi hy vọng nó không bị nghiền nát trong quá trình vận chuyển. Tất cả những điều này để nói rằng giờ đây bạn sẽ không thể thấy bề mặt Boy ở đâu ngoài sách vở, hoặc trên một đĩa CD-ROM mà tôi đã ghi lại 18 truyện tranh khoa học của mình dưới dạng PDF, trong đó có Topologicon. Làm thế nào để có được đĩa CD-ROM này.
Nhưng quay lại chuyến đi mà tôi đã thực hiện, từ Marseille đến Paris. Tôi đã quá tải với hai chiếc vali, và quyết định mang theo ba mô hình. Cách duy nhất là buộc chúng quanh cổ. Nhưng khi tôi đi qua hành lang nhà ga và thấy mọi người nhìn tôi như vậy, tôi hiểu rằng họ tưởng mình đang đối diện với một kẻ điên vừa được trại tâm thần cho phép ra ngoài. Việc cố gắng giải thích ngược lại là vô ích, và tôi đành chịu đựng nỗi đau này với tất cả sự kiêu hãnh có thể.
Điều thú vị là những người làm ra những thứ như vậy khá hiếm. Ở Mỹ có một nhà toán học tên là Charles Pugh, làm việc tại khoa Toán học của Đại học Berkeley. Tôi sẽ có dịp nhắc đến ông sau này. Pugh rất tài năng với lưới sắt cho gà, nhưng cá nhân tôi luôn thích kỹ thuật dây đồng mạ hơn.
Quay lại câu chuyện lật ngược mặt cầu. Người đầu tiên thành công trong việc giải quyết bài toán này là nhà hình học Anthony Phillips. Ông công bố công trình của mình, tức là một chuỗi tranh vẽ, trong một số của Scientific American vào năm 1967. Có nhiều cách để lật ngược một mặt cầu. Một trong số đó là đưa mỗi điểm trên mặt cầu trùng với điểm đối cực của nó. Khi đó nó sẽ có hình dạng của bề mặt Boy. Tôi luôn ước mơ tìm được một nhà tài trợ để xây dựng một tác phẩm điêu khắc tuyệt đẹp mô tả một quả địa cầu được gập lại thành bề mặt Boy. Vì không thể xây dựng vật thể đó, tôi đã dùng nó làm hình bìa cho Topologicon:
Quả địa cầu được dán lại lên chính nó theo bề mặt Boy
Trong cấu hình này, nếu bạn đào một lỗ tại cực bắc, bạn sẽ lập tức xuất hiện ở phía bên kia, tại cực nam, vì hai điểm này là đối cực. Một người Pháp đào hố trong hầm sẽ lập tức ở New Zealand, v.v.
Phiên bản tìm ra bởi Anthony Phillips thực sự mô tả cách mặt cầu chuyển thành một nhúng hai lớp của bề mặt Boy, vốn hiển nhiên là một bề mặt một mặt. Nếu ta có một sản phẩm ma thuật, traversine, cho phép bề mặt có khả năng tự xuyên qua chính nó, thì chỉ cần nối mỗi điểm với điểm đối cực của nó bằng một sợi dây, rồi làm dây co lại đến độ dài bằng không. Nếu ta không thể dễ dàng biểu diễn sự biến đổi này, ta vẫn có thể quan tâm đến một phần của mặt cầu, ví dụ như vùng xung quanh xích đạo. Điều này đã được thực hiện trong các hoạt hình tiếp theo. Bề mặt này, có hai biên tròn, trông giống như vành xe đạp. Ta đã vẽ ba bán kính, nối với các điểm đối diện. Khi độ dài các bán kính tiến đến zero, dải hai mặt này sẽ chuyển thành nhúng hai lớp của một dải Möbius có ba nửa vòng xoắn. Dưới đây là hai hoạt hình khá thô. Bên trái chậm, bên phải nhanh.
Dải Möbius có ba nửa vòng xoắn là "vùng xung quanh xích đạo" của bề mặt Boy. Đây là dải mà xích đạo của mặt cầu quấn quanh.
"Xích đạo" của bề mặt Boy
Còn hai cực của mặt cầu thì trùng nhau tại cực duy nhất của bề mặt. Bề mặt này, giống như chai Klein, không thể nhúng được trong R³. Nó chỉ có thể được biểu diễn dưới dạng một nhúng. Khi đó nó có một tập hợp tự giao hình dạng một xoắn ốc ba cánh, mà ta thấy các đầu mút, trông giống như "tấm vải" của ba "tai". Trong các trang tiếp theo, ta sẽ tìm thấy một số yếu tố giúp bạn "đọc" rõ hơn bề mặt này. Nếu gặp khó khăn, hãy tìm một bản Topologicon.
Ở trên bên trái là một bề mặt Boy. Vì bề mặt này là một mặt, ta không thể dùng hai màu. Ở b là tập hợp tự giao dạng tam lá, gợi nhớ đến các cánh của một xoắn ốc ở b. Đường cong tự giao tại một điểm ba lần T. Các hình vẽ tiếp theo nhằm giúp người đọc dễ theo dõi.
Tất cả mọi thứ đều tốt để minh họa cấu trúc của một bề mặt: các dải nhỏ, lắp ráp từ các mảnh rời. Ta thấy một điêu khắc gia sẽ tìm thấy niềm vui với vật thể thực sự hấp dẫn này. Một lời bình luận ngắn về lịch sử của nó. Năm 1901, một sinh viên của nhà toán học Đức nổi tiếng Hilbert, Werner Boy, đã trình bày trước ông một bề mặt mà chưa ai từng nghĩ đến. Kỳ nghỉ sắp đến. Hilbert nói với sinh viên:
- Vấn đề này có vẻ thú vị. Nếu cậu muốn, hãy quay lại gặp tôi vào mùa thu, chúng ta sẽ bàn luận.
Kỳ nghỉ trôi qua, nhưng đến mùa thu, Boy không quay lại. Sau hai tháng, Hilbert cố tìm kiếm. Các sinh viên khác báo địa chỉ, ông đến đó. Nhưng người quản nhà cho biết chàng trai Werner Boy đã trả lại chìa khóa trước mùa hè và chưa bao giờ quay lại. Mọi nỗ lực tìm kiếm đều vô ích, cả việc tìm kiếm thành viên gia đình anh ta cũng thất bại. Anh ta biến mất hoàn toàn. Nếu bạn đến Đức, đừng hy vọng tìm thấy mộ của người phát minh vĩ đại này: nó không tồn tại.
Trong hình cuối cùng, ở dưới bên phải, ta đã vẽ bề mặt Boy bằng màu trắng, và hai mặt của mặt cầu bao bọc nó bằng màu xám và hồng. Các điểm A và A' là đối cực trên mặt cầu này. Dù sao đi nữa, ta cũng hiểu cách nhúng hai lớp của bề mặt Boy có thể được dùng để lật ngược mặt cầu. Giả sử ta có chuỗi biến đổi, đồng luân trơn, cho phép chuyển mặt cầu màu hồng bên ngoài, xám bên trong thành hình ở dưới bên phải. Ta chỉ cần hoán đổi hai lớp (bằng cách cho chúng tự xuyên qua nhau), đặc biệt là các điểm A và A', rồi thực hiện các biến đổi ngược lại để đạt được nhúng đối cực của mặt cầu này, lần này với màu xám ở bên ngoài.
Theo cùng một lập luận, ta có thể kỳ vọng rằng một mặt torus có thể chuyển thành nhúng hai lớp của một... chai Klein. Dưới đây là hình dạng của nhúng đó.
Nhúng hai lớp của chai Klein
Nếu ta có thể cấu hình một mặt torus theo cách này, ta chỉ cần hoán đổi hai lớp kề nhau, nằm hai bên của chai Klein (không được biểu diễn ở đây), rồi thực hiện các thao tác ngược lại để đạt được mặt torus đã được lật ngược. Công trình này đã được trình bày trong số tháng 1 năm 1979 của Pour la Science, trong một bài báo ký tên B. Morin và J.P. Petit. Tôi phụ trách phần vẽ, Morin phụ trách phần văn bản. Dù ông đã trích dẫn rất nhiều người trong bài báo, ông đã quên mất tôi, và cũng quên không nhắc đến việc tôi là người phát minh ra phần này của công trình, được trình bày trên trang 46 và 47. Nhưng đó là chuyện thường xảy ra khi hợp tác chặt chẽ với một đồng nghiệp. Bạn biết đó: ta đã quen với sự hiện diện của nhau suốt nhiều năm, và quá lo lắng không để ai bị quên, đến mức cuối cùng lại quên chính người đó, như thể anh ta là một vật dụng trong nhà. Để biết thêm chi tiết, công trình này đã được xuất bản dưới tên tôi tại Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris ngày 20 tháng 11 năm 1978, với tựa đề "Lật ngược không tầm thường của mặt torus", bài báo được trình bày bởi học giả André Lichnérowicz.
Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ
Số lần truy cập trang này kể từ ngày 7 tháng 12 năm 2004: