Lật ngược mặt cầu và hoán đổi các điểm cuspidal
Lật ngược mặt cầu
8 tháng 12 năm 2004
trang 2
Hoán đổi các điểm cuspidal của một crosscap
Đây sẽ là một đoạn ngắn, mang phong cách "lật ngược mặt cầu có thể dùng để làm gì?". Ở đây: để hoán đổi hai điểm cuspidal của một crosscap, điều mà ban đầu có vẻ như là bất khả thi. Tôi đã nghĩ ra thủ thuật nhỏ này cách đây khoảng một thập kỷ. Nó chưa từng được công bố. Nhưng làm sao để công bố thứ này? Không ai rõ. Đây không phải là một kết quả lớn trong toán học, nhưng vẫn là một bài tập khá hấp dẫn. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng các biểu diễn đa diện. Bên phải là crosscap "tròn", bên trái là một trong nhiều biểu diễn đa diện khả dĩ của nó.
Crosscap cùng một trong các biểu diễn đa diện của nó.
Trong hình ở dưới bên phải, chúng ta đã sắp xếp sao cho hai điểm cuspidal C1 và C2 nằm ở đầu mút của đường tự giao của nó nằm trong một phần có thể coi là hình cầu. Chúng ta biết rằng có thể lật ngược một mặt cầu. Do đó, ta có thể áp dụng cùng một phép biến đổi này cho vật thể này, không cần quan tâm đến các bước trung gian của phép biến đổi. Trong dạng đa diện, điều này tương đương với việc lật ngược khối lập phương.
Tất cả những gì ta biết là sau khi hoàn thành thao tác, ta sẽ thấy hai loại khuyết lõm xuất hiện, giống như những gì một người quan sát sẽ thấy nếu đứng "bên trong" crosscap ban đầu (mặc dù cụm từ này không chính xác vì bề mặt này là một mặt đơn).
Sau khi lật ngược, từ khối lập phương bên trái, đến hình cầu bên phải
Biểu diễn đa diện thật sự rất tiện lợi để theo dõi các thao tác này. Còn lại là đưa hai ngón tay vào các khuyết lõm đó và kéo toàn bộ ra ngoài:
Kéo điểm cuspidal C2 ra ngoài
Nếu bạn thấy thú vị, bạn có thể tự làm mô hình đa diện bằng giấy cứng. Hoặc có thể một người dũng cảm nào đó sẽ làm mô hình này bằng VRML để chúng ta có thể thao tác trực tiếp.
Chỉ còn lại một bước cuối cùng để hoàn tất thao tác.
Chuyển sang một phép nhúng giống như ban đầu, nhưng hai điểm cuspidal đã được hoán đổi.
Tôi từng hứa một ngày nào đó sẽ làm một chuyên đề kể về những lần gặp gỡ của tôi với nhà tâm lý học Jacques Lacan. Crosscap đã được ông dùng để mô hình hóa "ảo tưởng cơ bản". Ông tập trung vào "điểm cuspidal trung tâm" và hoàn toàn bỏ qua điểm thứ hai. Ở khu vực trung tâm này, Lacan đã đặt "thụy tinh ngôn ngữ" hay "vật nhỏ a". Tôi sẽ kể tiếp phần còn lại sau. Dù sao đi nữa, Lacan chưa từng nghĩ rằng hai điểm này có thể "đổi cha" với nhau. Thực tế, khi ông nói với tôi về mô hình ngôn ngữ-hình học-tâm lý này, tôi đã nhíu mày vì hình dung ra rằng hai điểm cuspidal trong crosscap này có thể đóng vai trò khác nhau, và chỉ trong khoảnh khắc sau, khi tự hỏi, tôi đã tìm ra cách hoán đổi chúng. Lacan rất ngạc nhiên, tôi nhớ rõ. Ảo tưởng cơ bản của ông giờ có hai "thụy tinh ngôn ngữ" thay vì chỉ một. Tất cả hệ thống của ông đều được xây dựng quanh vật thể này. Nhưng tôi lập tức đề xuất một giải pháp thay thế bằng cách đặt "thụy tinh ngôn ngữ" tại cực (duy nhất) của bề mặt Boy. Như vậy, mọi thứ lại trở về đúng vị trí, khiến ông rất hài lòng.
Sự kiện này xảy ra không lâu trước khi ông qua đời. Theo quan sát của tôi, sự tái định hình tâm lý-hình học này dường như vẫn chưa lan truyền trong cộng đồng các nhà tâm lý học theo trường phái Lacan.
Quay lại Hướng dẫn Quay lại trang chủ
Số lần truy cập trang này kể từ ngày 7 tháng 12 năm 2004: