Sự lật ngược của mặt cầu
Sự lật ngược của mặt cầu
7 tháng 12 năm 2004
trang 3
Những tai họa cơ bản.
Chúng ta đã nói ở trên rằng các nhúng mà ta đang xét là những nhúng sao cho các mặt phẳng tiếp tuyến dọc theo tập hợp tự giao của chúng, khi có tồn tại, luôn luôn tách biệt. Khi đó, ta có thể chuyển từ một nhúng này sang một nhúng khác bằng bốn loại tai họa cơ bản. Morin đã đặt tên cho chúng, những tên này được ghi trên các hình vẽ dưới đây. Loại đầu tiên dẫn đến việc tạo ra một đường cong kín (và sự hủy diệt của nó, thao tác ngược lại). Điều này xảy ra khi ta nhúng khuỷu tay vào nước trong chậu để kiểm tra nhiệt độ (bên trái). Hình a4: các bề mặt tiếp xúc tại một điểm. Ở a5, đường tự giao đã được tạo ra. Trong phần tiếp theo, ta sẽ gọi thao tác này là "tai họa của khuỷu tay".
"Tai họa của khuỷu tay": tạo ra - hủy diệt một đường cong kín
Tai họa thứ hai là "tai họa của miếng cam":
Tai họa gồm việc tạo ra và hủy diệt một "miếng cam".
Nếu quan sát kỹ các hình ảnh này từ trái sang phải, ta sẽ thấy một hình trụ paraboloid tiến lại gần một góc nhị diện. Tập hợp tự giao gồm hai đường cong có hình dạng parabol, rời nhau, và rõ ràng hơn là cạnh của góc nhị diện. Ở hình ở giữa, cạnh của góc nhị diện tiếp xúc với một đường sinh của trụ. Cạnh này tiếp xúc với trụ tại điểm đó. Tập hợp tự giao gồm hai đường cong hình parabol, tiếp xúc nhau tại một điểm, và trùng với cạnh của góc nhị diện. Ở hình bên phải: trụ paraboloid tiếp tục chuyển động. Đường tự giao đã thay đổi. Nó gồm cạnh của góc nhị diện, cộng với các đường parabol cắt nhau tại hai điểm, nằm trên cạnh của góc nhị diện. Ta có thể xem ngược lại rằng trụ paraboloid đứng yên còn hai "mặt cắt" di chuyển. Hình bên phải gợi lên hình ảnh hai nhát đốn, hoặc hai lần cắt bằng cưa. Mảnh vụn cũng được minh họa. Morin so sánh nó với một "miếng cam", một hình ảnh rất sinh động.
Tai họa thứ ba là "tai họa của chiếc quần".
Tai họa "của chiếc quần"
Các hình ảnh khá rõ ràng. Ta hạ một chiếc quần xuống nước từ trái sang phải. Bên trái, con chim bay qua dưới phần giữa hai chân, nhưng con cá vẫn bị giam giữ trong một bên quần. Bên phải, con cá đã qua được, nhưng lối đi mà chim đi qua đã biến mất. Ở giữa là trạng thái trung gian. Điều quan trọng là sự thay đổi cục bộ của đường giao, tương ứng với cái gọi là "phẫu thuật", tức là thay đổi cách nối các cung đường cong. Hãy cố gắng hiểu rõ thao tác này, vì nó sẽ là thao tác khó thực hiện và khó quan sát nhất trong quá trình đồng dạng lật ngược mặt cầu. Hãy ghi nhớ rằng tai họa này vừa đóng một lối đi vừa mở ra một lối đi khác theo hướng vuông góc.
Tai họa thứ tư và cuối cùng là "đảo ngược một tứ diện":
Tai họa đảo ngược một tứ diện
Đường tự giao gồm bốn "đường thẳng" là phần kéo dài của bốn cạnh của một tứ diện. Ở hình bên trái, ta tách riêng tứ diện này ra, mặt màu xám hướng ra ngoài. Ở hình bên phải, ngược lại: các mặt có màu hồng. Ở giữa là trạng thái trung gian: tứ diện bị thu nhỏ thành một điểm Q (bội bốn, vì nó là giao điểm của bốn lớp).
Bằng bốn tai họa này, ta sẽ xem xét cách lật ngược một mặt cầu thông qua một dãy liên tục các nhúng xuyên qua. Biến thể này do nhà toán học (mù) Bernard Morin đề xuất. Cuộc gặp gỡ của chúng tôi đáng để kể lại. Một ngày nọ, một kỹ thuật viên của khoa Ngữ văn yêu cầu tôi mang tài năng vẽ hình đến cho một diễn giả đang nói về hình học. Tôi đến cuộc hẹn mà không hề nghi ngờ gì. Tôi luôn rất giỏi trong việc hình dung các vật thể trong không gian, và khi giáo viên toán cao cấp của chúng tôi giao một bài toán hình học mô tả, tôi thường vẽ đường giao và cung cấp một hình chiếu phối cảnh cùng lúc với khi thầy ấy đưa ra đề bài. Nhưng lần này, mọi việc lại diễn ra khác biệt.
Tôi không gặp khó khăn gì khi vẽ các hình trên. Nhưng khi phải tích hợp chúng vào một sơ đồ liên quan đến việc lật ngược mặt cầu, tôi cuối cùng hoàn toàn mất phương hướng, khi phải đối diện với cả một tập hợp các lớp nằm chồng lên nhau. Bực bội, tôi quay lại gặp người đàn ông kỳ lạ này, người dù bị mất thị lực nhưng lại cảm thấy thoải mái hơn tôi trong việc xử lý sự phô diễn của các hình dạng. Tôi sau đó đã theo học ông trong vài tháng. Cuộc trao đổi khá phức tạp. Về phía ông, ông chỉ có thể dùng lời nói. Về phía tôi, tôi có thể hoặc mô tả hình vẽ cho ông, hoặc đưa cho ông những mô hình nhỏ được làm tại nhà, hoặc sau đó làm ngay tại chỗ. Thật đáng tiếc là không thể ghi lại những cuộc trao đổi này, hoàn toàn siêu thực, kiểu như:
- Hãy tưởng tượng hai đường cong nào đó tiến lại gần nhau và hợp lại thành một thứ giống như chiếc roi đánh trứng.
Dù người này có tính cách khó chịu, những cuộc gặp gỡ này vẫn để lại trong tôi những ấn tượng khó quên. Cuối cùng tôi chỉ còn thói quen uống hai viên aspirin trước mỗi buổi làm việc, như một biện pháp phòng ngừa. Tính cách của ông có thể tóm tắt bằng biệt danh mà vợ ông đặt cho ông: "Sấm sét được ban phước", một nhân vật trong truyện tranh của Hergé "Tintin ở Tây Tạng". Những mối hận thù của Morin nổi tiếng như huyền thoại và không thể nào thay đổi. Đôi khi ông nhắc đến một vài kẻ thù đã qua đời, và nói về họ:
- Thỉnh thoảng tôi vẫn chửi họ trong cõi âm, tự nhủ rằng nếu điều đó không làm họ đau, thì ít nhất cũng chẳng thể nào làm họ tốt hơn.
Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ
Số lần truy cập trang này kể từ ngày 8 tháng 12 năm 2004: