Sự lật ngược hình cầu
Sự lật ngược hình cầu
Ngày 7 tháng 12 năm 2004
Trang 3
Bốn hiện tượng bất ngờ cơ bản.
Chúng ta đã nói ở trên rằng các phép nhúng mà chúng ta đang xét là những phép nhúng sao cho các mặt phẳng tiếp tuyến dọc theo tập hợp tự giao của chúng (nếu có), vẫn giữ nguyên phân biệt. Khi đó, có thể chuyển từ một phép nhúng này sang một phép nhúng khác thông qua bốn hiện tượng bất ngờ cơ bản. Morin đã đặt tên cho chúng, những tên này được ghi trên các hình vẽ dưới đây. Hiện tượng đầu tiên dẫn đến việc tạo ra một đường cong kín (và hiện tượng ngược lại, tức là xóa bỏ nó). Điều này xảy ra khi bạn nhúng khuỷu tay vào nước trong chậu để kiểm tra nhiệt độ (bên trái). Hình a4: các bề mặt tiếp xúc tại một điểm. Ở hình a5, đường tự giao đã được tạo ra. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ gọi thao tác này là "hiện tượng bất ngờ của khuỷu tay".
"Hiện tượng bất ngờ của khuỷu tay": Tạo ra – xóa bỏ một đường cong kín
Hiện tượng thứ hai là "hiện tượng của mút cam":
Hiện tượng tạo ra – xóa bỏ một "mút cam"
Nếu quan sát kỹ các hình ảnh này từ trái sang phải, ta sẽ thấy một hình trụ paraboloid đang tiến lại gần một góc nhị diện. Tập hợp tự giao gồm hai đường cong có dạng parabol, rời nhau, và rõ ràng hơn là cạnh của góc nhị diện. Ở hình ở giữa, cạnh của góc nhị diện tiếp xúc với một đường sinh của hình trụ. Cạnh này tiếp xúc với hình trụ tại điểm đó. Tập hợp tự giao gồm hai đường cong parabol, tiếp xúc nhau tại một điểm và trùng với cạnh của góc nhị diện. Ở hình bên phải: hình trụ paraboloid tiếp tục chuyển động. Đường tự giao đã thay đổi. Nó gồm cạnh của góc nhị diện, cộng với hai đường cong parabol cắt nhau tại hai điểm nằm trên cạnh của góc nhị diện. Ta có thể xem xét ngược lại rằng hình trụ paraboloid là cố định, còn hai "mặt cắt" di chuyển. Hình bên phải gợi lên hình ảnh hai nhát chém bằng rìu, hoặc hai lần cắt bằng cưa. Mảnh vụn cũng được minh họa. Morin so sánh nó với một "mút cam" – một hình ảnh rất sinh động.
Hiện tượng thứ ba là "hiện tượng của chiếc quần".
Hiện tượng "chiếc quần"
Các hình ảnh khá rõ ràng. Chúng ta hạ chiếc quần từ trái sang phải xuống nước. Bên trái, con chim bay qua dưới phần giữa hai chân, nhưng con cá vẫn bị giam giữ trong một bên quần. Bên phải, con cá đã qua được, nhưng lối đi mà con chim từng đi đã biến mất. Ở giữa là trạng thái trung gian. Điều quan trọng là sự thay đổi cục bộ của đường giao nhau, tương ứng với một "phẫu thuật", tức là thay đổi cách nối các cung đường cong. Hãy cố gắng hiểu rõ sự biến đổi này – đây là thao tác khó thực hiện và khó quan sát nhất trong quá trình đồng dạng lật ngược hình cầu. Hãy ghi nhớ rằng hiện tượng này đồng thời đóng một lối đi và mở một lối đi khác theo hướng vuông góc.
Hiện tượng thứ tư và cuối cùng là "hiện tượng đảo ngược một tứ diện":
Hiện tượng đảo ngược một tứ diện
Đường tự giao gồm bốn "đường thẳng" là phần kéo dài của bốn cạnh của một tứ diện. Ở hình bên trái, ta tách riêng tứ diện này ra, mặt của nó màu xám hướng ra ngoài. Ở hình bên phải, ngược lại: các mặt có màu hồng. Ở giữa là trạng thái trung gian: tứ diện bị thu nhỏ thành một điểm Q (bội bốn, vì nó nằm tại giao điểm của bốn mặt).
Sử dụng bốn hiện tượng trên, chúng ta sẽ xem xét cách lật ngược một hình cầu thông qua một chuỗi liên tục các phép nhúng xuyên qua. Biến thể này do nhà toán học (mù) Bernard Morin đề xuất. Cuộc gặp gỡ của chúng tôi đáng để kể lại. Một ngày nọ, một kỹ thuật viên của khoa Ngữ văn yêu cầu tôi mang tài năng vẽ hình đến hỗ trợ một diễn giả đang nói về hình học. Tôi đến buổi gặp mà không hề nghi ngờ gì. Tôi luôn khá giỏi trong việc hình dung các vật thể trong không gian, và khi giáo viên toán cao cấp giao cho chúng tôi giải một bài toán hình học cầu thì tôi đã vẽ được đường giao nhau và cung cấp luôn một hình chiếu phối cảnh, trong khi thầy ấy còn chưa kịp hoàn thành đề bài. Nhưng lần này, mọi thứ lại diễn ra khác biệt.
Tôi không gặp khó khăn gì khi vẽ các hình trên. Nhưng khi phải tích hợp chúng vào một sơ đồ liên quan đến việc lật ngược hình cầu, tôi cuối cùng đã hoàn toàn mất phương hướng trước một tập hợp các mặt xếp chồng lên nhau. Bực tức, tôi quay lại gặp người đàn ông kỳ lạ này, người dù không có thị lực lại dường như thoải mái hơn tôi trong việc xử lý sự phô diễn các hình dạng phức tạp. Tôi đã theo học các lớp của ông trong vài tháng. Cuộc trao đổi khá phức tạp. Về phía ông, ông chỉ có thể dùng lời nói. Về phía tôi, tôi có thể hoặc mô tả hình vẽ cho ông nghe, hoặc đưa cho ông các mô hình làm bằng tay mà tôi tự làm ở nhà, hoặc làm tại chỗ sau đó. Thật đáng tiếc là không thể ghi lại những cuộc trao đổi này – hoàn toàn siêu thực, kiểu như:
- Hãy tưởng tượng hai đường cong tiến lại gần nhau, tạo thành một thứ giống như chiếc roi đánh trứng.
Dù nhân cách của người này khá khó chịu, nhưng những lần gặp gỡ đó vẫn để lại trong tôi những ấn tượng khó quên. Cuối cùng tôi chỉ còn thói quen uống hai viên aspirin trước mỗi buổi làm việc, như một biện pháp phòng ngừa. Tính cách của ông có thể tóm tắt bằng biệt danh mà vợ ông đặt cho ông: "Sấm chớp thánh thiện" – một nhân vật trong truyện tranh của Hergé "Tintin ở Tây Tạng". Những mối hận thù của Morin nổi tiếng như huyền thoại và không thể nào thay đổi. Đôi khi ông nhắc đến một vài kẻ thù của mình, những người đã qua đời, và nói với họ:
- Đôi khi tôi vẫn ném một lời nguyền nhỏ vào thế giới bên kia, tự nhủ rằng dù nó chẳng làm hại họ, thì cũng chẳng thể nào giúp họ được gì.
Trở về mục lục Trở về trang chủ
Số lần truy cập trang này kể từ ngày 8 tháng 12 năm 2004: