Lật ngược mặt cầu: Những nghịch lý toán học

Lật ngược mặt cầu

Ngày 8 tháng 12 năm 2004

Trang 4

Phiên bản của Bernard Morin

Để tải về phiên bản PDF của bài viết năm 1979 của B. Morin và J.P. Petit, đăng trên Pour la Science

Hiện tượng lật ngược mặt cầu (2,8 MB)

Ta bắt đầu từ một mặt cầu có mặt xám hướng ra ngoài, mặt hồng hướng vào bên trong. Ở hình b và c, ta đưa hai cực chạm nhau. Sau đó các lớp mặt cầu xuyên qua nhau theo một "nghịch lý khuỷu tay". Một đường cong kín tự giao được tạo thành. Ở dưới cùng bên phải, ba nửa cắt giúp ta hình dung rõ hơn cấu trúc đạt được. Ở giai đoạn này, mặt cầu trông giống một loại "thuyền cao su" tròn, có một "bóp" và một "sàn" hai lớp.

Giai đoạn đầu: một "nghịch lý khuỷu tay". Tạo ra một đường cong kín tự giao

Thao tác thứ hai: một nghịch lý khuỷu tay mới, tạo ra một đường cong kín thứ hai.

Sự hình thành đường cong kín tự giao thứ hai

Để thực hiện điều này, "thuyền cao su" đã bị uốn cong, với một chuyển động xoắn, giúp đưa hai phần của "bóp" đối diện nhau chạm vào nhau. Hình ảnh tiếp theo là kết quả của hai nghịch lý dẫn đến việc tạo ra các "miếng cam".

Sau khi tạo ra hai "miếng cam"

Bên trái, ta đã thực hiện các cắt trên mô hình. Ở giữa, ta thấy cách hai hình trụ, mà mặt cắt cục bộ tạo thành hình chữ "gamma" Hy Lạp, đã xuyên qua nhau. Ta nhớ lại rằng nghịch lý tạo ra "miếng cam" được thực hiện bằng cách cắt một "cây gỗ" bằng hai mặt phẳng tạo thành một góc nhị diện. Mỗi cấu trúc hình trụ có mặt cắt dạng "gamma" đều bao gồm cả phần cong và phần nhị diện. Hãy quan sát kỹ hình i. Ở hình j, ta đã vẽ toàn bộ đường tự giao. Đoạn cong kín lớn nhất đến từ "nghịch lý khuỷu tay" đầu tiên, đã biến mặt cầu thành "thuyền cao su". Sau khi tạo ra hai miếng cam, ta thu được một cấu trúc phức tạp hơn, mà j là một phần của nó. Ở hình j", ta thấy cấu trúc này có thể so sánh với việc ghép hai "miếng cam" trên hai cạnh không kề nhau của một tứ diện.

Tất cả điều này sẽ trở nên dễ hiểu hơn rất nhiều khi tôi có thể tạo ra các hoạt hình. Về mặt kỹ thuật, tôi không gặp khó khăn gì. Chỉ là vấn đề thời gian. Ít người có thể vừa nhìn thấy không gian, tức là đọc được mã hóa bằng các đường nét, đường đứt đoạn, màu sắc, bóng đổ và phản chiếu, vừa liên kết trong đầu các biến đổi bằng cách tưởng tượng chuyển động được gợi ý. Tôi hy vọng một ngày nào đó sẽ có đủ thời gian để làm tất cả những điều này. Nhân tiện, ta có thể dùng mô hình đa diện, như tôi đã làm khi trình bày cách biến đổi một Crosscap thành Mặt của Boy. Đó chính là tương lai. Nhưng những mô hình này phải được sáng tạo ra. Ở phần sau, ta sẽ thấy phiên bản đa diện tối ưu của mô hình trung tâm trong phép biến đổi này, được Bernard Morin tưởng tượng (nhớ rằng ông là người khiếm thị!), cùng với cách tự làm mô hình từ một bản cắt.

Tại sao tôi không đi xa hơn nữa? Tôi sẽ nói: do thiếu "đường ra". Không có tạp chí toán học nào chấp nhận đăng những công trình như vậy. Chúng tôi từng có thể làm được điều này vào năm 1975–1978 thông qua một vài bản ghi ngắn đăng trên Comptes Rendus của Viện Hàn lâm Khoa học Paris, nhưng chắc chắn không ai đọc được. Chỉ vì học giả André Lichnérowicz quan tâm cá nhân đến những công trình này. Ông đã qua đời. Vì các công trình này đã hoàn tất hoàn toàn từ năm 1975, thật đáng tiếc là không thể sản xuất một bộ phim hoạt hình từ các bản vẽ của tôi. Tôi từng làm việc trong lĩnh vực hoạt hình, nên hoàn toàn có khả năng điều phối một dự án như vậy. Nhưng việc tìm được tài trợ từ CNRS là bất khả thi, và cuối cùng chính nhà toán học người Mỹ Nelson Max, lấy cảm hứng từ các mô hình do đồng nghiệp Charles Pugh xây dựng (từ phiên bản này của việc lật ngược mặt cầu), và sử dụng một máy tính mạnh, đã sản xuất được bộ phim đầu tiên. Nhưng đây không phải lần đầu tiên, cũng chẳng phải lần cuối cùng, các nhà khoa học Pháp, không nhận được sự công nhận nào từ nỗ lực của mình, bị các đồng nghiệp nước ngoài tổ chức tốt hơn và được hỗ trợ tốt hơn "đi trước".

Hãy chuyển sang giai đoạn thứ ba, khó hiểu nhất.

Chuẩn bị cho hai "nghịch lý quần"

Trong hình k, ta thấy rõ hai phần "chân quần", chi tiết cụ thể được thể hiện ở hình k'. Mũi tên trắng chỉ hướng đi "qua khe giữa hai chân". Biến đổi này thật sự rất khó hình dung. Tôi đã thêm hình m để cố gắng diễn giải rõ hơn. Ở hình l, tôi dùng nét đứt để biểu diễn đường tự giao, hiện diện đầy đủ ở hình l'. Một đoạn đi qua (đoạn mà mũi tên trắng đi qua) sẽ đóng lại. Chuyển động đóng lại này đi kèm với việc nâng một phần của đường giao nhau lên ở hai vị trí. Hai đoạn cong này sẽ chạm nhau, mỗi đoạn nằm trên một trong các đường thuộc "miếng cam". Khi chạm nhau, cuộc phẫu thuật sẽ diễn ra. Khó khăn nằm ở chỗ, sau khi đã thấy bốn nghịch lý cơ bản ở trang trước, ta phải có khả năng tưởng tượng chúng dưới mọi góc độ, thậm chí phải "xoay cổ" để quan sát. Ở hình n, ta thấy thời điểm quan trọng khi cuộc phẫu thuật diễn ra (tình trạng "trung tâm" của biến đổi), và lúc đó cách nối các đoạn cong sẽ thay đổi. Ta biết rằng nghịch lý "quần" này đóng một lối đi và mở một lối đi khác. Lối đi ban đầu được biểu diễn bằng mũi tên trắng. Nhưng còn một lối đi khác, ta có thể nhìn thấy nếu xoay mô hình 180 độ quanh trục thẳng đứng. Hai mũi tên này thực ra chỉ là một. Trước khi các nghịch lý xảy ra, ta vẫn có thể đi qua "thuyền cao su gập lại" này. Khi các nghịch lý này hoàn tất, lối đi đó sẽ không còn khả thi. Tuy nhiên, hai lối đi khác sẽ được tạo ra. Nhưng ở đâu? Những phần nào của không gian bị ảnh hưởng? Những lối đi này sẽ nối phần bên trong của các "miếng cam" với bên ngoài. Ở hình l', bạn thấy các "miếng cam" đó. Hãy chuyển sang bước tiếp theo.

Đóng kín lối đi. Hướng tới trạng thái song song quan trọng

Ở hình o, ta thấy hai nghịch lý "quần" ở hai giai đoạn khác nhau. Một trong hai lối đi đã hoàn toàn bị đóng lại. Ta đang ở trạng thái quan trọng, ngay trước khi các cung cong thay đổi cách nối. Bên phải (chi tiết ở hình o'), lối đi đang trong quá trình đóng lại. Do đó, hình dạng của đường tự giao o" khác nhau ở hai bên. Ở các hình p, p' và p", trạng thái quan trọng (tình trạng "trung tâm" của biến đổi) đã đạt được ở cả hai phía. Ở trang tiếp theo, các cuộc phẫu thuật đã hoàn tất. Các ống mà ta thấy bắt đầu hình thành ở hình p", nối các "miếng cam" với bên ngoài, giờ đây đã hoàn chỉnh:

Hai "nghịch lý quần" đã hoàn thành. Các lối đi (mũi tên trắng) đã mở.

Bây giờ, quá trình sẽ tiếp tục bằng cách làm việc trên phần dưới của mô hình, chi tiết được chỉ rõ ở hình r. Hãy quan sát kỹ phần bề mặt này. Ta thấy hai phần trụ parabol cắt nhau theo hai hướng vuông góc. Có một lối đi ở phần dưới hình r, hướng về phía người xem. Ta sẽ thử trượt hai trụ này qua nhau. Điều này sẽ làm đóng lối đi và mở một lối đi khác theo hướng vuông góc ("từ phải sang trái"). Ở đây ta nhận ra một nghịch lý "quần" mới. Nếu sự trượt dọc này của hai phần trụ parabol xảy ra, ta sẽ lại rơi vào trạng thái quan trọng, với sự thay đổi cách nối các lớp. Nhưng thực tế, chỉ vì lý do tiết kiệm, ta sẽ dừng lại tại trạng thái quan trọng, ở trạng thái "trung tâm", khi lối đi hướng về người xem đã đóng lại, còn lối đi theo hướng vuông góc chưa mở. Hãy làm như vậy.

Nghịch lý quần mới, bắt đầu dạng chữ L, dừng lại bên phải, ở trạng thái quan trọng

Ta sẽ ấn vào trụ có màu hồng hướng ra ngoài, và kéo nó lên. Ở hình c', ta thấy ảnh hưởng của chuyển động này đến toàn bộ đường tự giao: các cung cong bắt đầu tiến lại gần nhau. Khi đạt đến trạng thái quan trọng, phần này của cấu trúc sẽ giống như "cây roi đánh trứng", được minh họa trong hình. Ở bên phải, hình t, t', t": trạng thái quan trọng đã đạt được, tức là "thời điểm trung tâm của nghịch lý". Ở hình t", hình dạng của toàn bộ đường tự giao, phần dưới giống như chiếc roi đánh trứng của ta. Hình t' biểu diễn khối tứ diện nhỏ. Ở hình t''', ta đã thể hiện sự giao nhau của bốn lớp.

Đi uống một viên aspirin đi.

Trong phiên bản lật ngược mặt cầu này, tất cả các biến đổi, các nghịch lý đều phải được thực hiện đến cùng. Nhưng ta sẽ tạm dừng nghịch lý vừa nêu ở trạng thái trung tâm, "quan trọng". Sau đó, ta sẽ bắt đầu một nghịch lý chưa từng dùng: nghịch lý đảo ngược một tứ diện. Nhưng lần này, ta cũng sẽ dừng lại ở trạng thái "trung tâm", khi tứ diện đã bị thu nhỏ thành một điểm. Hãy làm đi!

Nghịch lý cuối cùng, bị chặn ở giai đoạn trung tâm: khi tứ diện bị thu nhỏ thành điểm bốn trùng Q

Ở hình t''', ta thấy cấu trúc của bốn lớp, trong đó đường tự giao chứa một thể tích có hình dạng tứ diện. Ở hình u", tứ diện này đã bị thu nhỏ thành một điểm (bốn trùng, vì có bốn lớp cắt nhau). Bên trái, mô hình "bốn tai Morin" đã được tạo thành. Ở phía trước là toàn bộ đường tự giao, phía dưới là "cây roi đánh trứng", phía trên là bốn "cái móc" gợi nhớ đến "tai thỏ". Bằng cách biến dạng bề mặt một chút, nhưng không tạo thêm nghịch lý nào, ta sẽ thu được mô hình trung tâm bốn tai Morin ở bên phải. Mô hình này có đối xứng bậc bốn. Nếu ta quay mô hình này 90 độ quanh trục đối xứng thẳng đứng, ta sẽ thu được hình vẽ giống hệt, nhưng màu sắc đổi chỗ. Xám trở thành hồng và ngược lại. Như vậy, ta có thể nói công việc đã hoàn tất. Thật vậy, nếu muốn vẽ toàn bộ đường đồng dạng, chỉ cần dùng hoạt hình để quay mô hình trung tâm này 90 độ. Sau đó, ta có thể lặp lại tất cả các hình vẽ ta đã làm, nhưng theo chiều ngược lại, với màu sắc đổi chỗ. Cuối cùng, ta sẽ thu được một phép nhúng mặt cầu mà mặt cầu hiện ra màu hồng bên ngoài. Nhưng toán học là một trường đào tạo sự lười biếng, hay sự tiết kiệm, tùy theo cách nhìn. Vì công việc đã đưa ta đến một đối tượng có đối xứng bậc bốn, ta có thể dừng lại ở đây, nói rằng công việc đã hoàn thành.

Trong trang tiếp theo, tôi đã cố gắng mô tả chi tiết mô hình trung tâm mở của Morin. Có một mô hình với "tai đóng", mà tôi đã mô tả trong một bài báo khác tại Viện Hàn lâm, nhưng tôi sẽ không trình bày ở đây.

Mô tả chi tiết mô hình trung tâm bốn tai của Morin

Sau này, tôi tìm ra một biểu diễn đa diện của mô hình trung tâm bốn tai. Thực ra, mô hình này không có "trên" hay "dưới". Để thuận tiện cho việc vẽ và hoạt hình (tôi đã tạo ra những hình ảnh này bằng phần mềm thiết kế hỗ trợ máy tính mà tôi tự phát triển, trước khi những năm 1980), hình GIF hoạt hình sau đây cho thấy mô hình này với điểm kép hướng lên trên. Điểm bốn trùng cũng có thể nhìn thấy:

Phiên bản đa diện của tôi về mô hình bốn tai

Hướng dẫn cách tự làm mô hình bằng cách cắt dán

Các mảnh cắt (in ra, rồi photocopy trên bốn trang giấy cứng, hai màu)

Trong hoạt hình ban đầu, vật thể được "đối xứng" so với hình trên. Như vậy, khi nhìn từ trên xuống, nó có hình dạng một chữ thập gamma, toàn bộ có thể gợi nhớ đến một loại "nhà văn hóa cho đảng da trắng mới". Tôi đã chọn đảo ngược vật thể để không khiến các kiến trúc sư cực đoan phải có ý tưởng xấu. Nhấp vào đây để xem tất cả hướng dẫn chi tiết về cách tự lắp ráp vật thể này. Cuối cùng, một vài hình ảnh về vật thể này.

Tôi sẽ kết thúc việc kể lại về hiện tượng lật ngược mặt cầu bằng một câu chuyện kỳ lạ nhưng hoàn toàn chân thực. Vào thời điểm các biến đổi này chỉ được biết đến bởi một số rất ít người am hiểu, một nhà tài trợ đã đưa ra một giải thưởng một triệu đô la cho người nào xây dựng được các mô hình đủ rõ ràng. Tại Berkeley, nhà toán học Charles Pugh đã nhận nhiệm vụ này và hoàn thành xuất sắc. Với số tiền đó, ông mua được một ngôi nhà. Những mô hình này, được làm từ lưới gà và mỗi cái có đường kính khoảng một mét (Pugh dùng kỹ năng khéo léo đáng kinh ngạc để cắt và nối các mắt lưới, cho phép các phần tự xuyên qua nhau), đã trang trí trần nhà căng-tin của khoa toán tại Berkeley trong nhiều năm. Sau đó, một đêm nọ, chúng bị trộm và không bao giờ tìm thấy. Không ai biết ai đã làm chuyện đó. Về mặt thương mại, chúng khó bán hơn cả "Mona Lisa" tại Louvre. Có lẽ một người sưu tập nào đó đang giữ chúng trong một căn hầm bí mật, mỗi tối xuống đó và tự hào rằng "chỉ mình tôi mới được nhìn thấy chúng".

Có một câu chuyện khác liên quan đến bề mặt Boy, mà tôi là người đầu tiên xác định các đường kinh tuyến, bằng cách nhận diện chúng với một họ các elip. Công việc này được thực hiện hoàn toàn theo phương pháp thực nghiệm, dựa trên một mô hình kim loại mà tôi đã làm. Một trong các con trai của nhà toán học Jean-Marie Souriau, Jérôme, lúc đó đang theo học vật lý. Sử dụng máy tính Apple II của cha mình, Jérôme đã xây dựng được biểu diễn tham số đầu tiên của đối tượng này, dạng:

X = X ( alpha , mu )

Y = Y ( alpha , mu )

Z = Z ( alpha , mu )

Không thể nào nhúng được phông chữ Symbol vào Dreamweaver, giúp tôi chèn được các ký tự Hy Lạp vào trang htm &&& Nếu ai biết cách làm, xin vui lòng chỉ giúp......

Chỉ với mười dòng lệnh BASIC, chúng tôi đã lần đầu tiên hiển thị trên màn hình vào năm 1981 những hình ảnh "dây thép" của bề mặt Boy. Nếu bạn thấy hình ảnh tổng hợp của đối tượng này trên các trang web, chúng đều được tạo ra dựa trên công trình đã công bố tại Viện Hàn lâm Khoa học (tập 293, buổi họp ngày 5 tháng 10 năm 1981, loạt 1, trang 269–272). Vì công trình này được ký tên J.P. Petit và J. Souriau, những (ít) người đọc nghĩ rằng J. Souriau là nhà toán học nổi tiếng. Thực tế, đó là con trai ông, Jérôme, người chưa từng tốt nghiệp cử nhân vật lý và đã chọn nghề lập trình viên. Dễ dàng nhận thấy rằng các hình ảnh tổng hợp, nhiều trong số đó do kỹ sư Polytechnicien Colonna tại École Polytechnique tạo ra, đều dựa trên các phương trình mà Jérôme và tôi đã tìm ra. Chúng cần được hoàn thiện thêm, và do thiếu công đoạn hoàn thiện, bề mặt này có ba nếp gấp khá mất thẩm mỹ gần cực của nó. Dưới đây là chương trình cho phép tạo ra các biểu diễn "dây thép" này.


**
Chương trình, trích từ Topologicon**:

Câu chuyện cuối cùng còn kỳ lạ hơn nữa. Khoảng hai mươi năm trước, tôi tham gia một chuyến thám hiểm dưới biển ở phía nam Bahamas cùng với thợ lặn Jacques Mayol. Mục tiêu là tìm một "kim tự tháp chìm" mà Charles Berlitz đã đề cập trong cuốn sách nổi tiếng "Tam giác Bermuda", một tác phẩm bán chạy toàn cầu. Cụ thể, kim tự tháp này được cho là nằm ở phía nam rạn Cay Sal Bank, ở giữa khoảng cách giữa Florida và Cuba, một khu vực đầy rẫy cá mập biển, rất nguy hiểm. Nhưng trong nghiên cứu, đôi khi ta phải dám mạo hiểm.

Chúng tôi không tìm thấy kim tự tháp nào, cũng chẳng thấy miếng bơ nào. Chúng tôi được một nhà tài phiệt người Ý giàu có đưa đến hiện trường bằng một chiếc du thuyền tuyệt đẹp dài 30 mét, được trang bị động cơ rất mạnh. Do không tìm thấy kim tự tháp, tôi bắt đầu nói chuyện với vị tỷ phú về hình học, nhấn mạnh rằng nếu tài trợ cho việc tạo ra các bề mặt toán học, ông sẽ có một cách tiêu tiền vô ích hơn nhiều so với việc mời các cô gái đến ăn tối tại Lido ở Paris. Người đàn ông, tôi sẽ giữ kín tên, nhưng tên thật của ông là Carlo, đã đồng ý tài trợ cho việc chế tạo một vài mô hình, được một nghệ sĩ điêu khắc khéo tay hơn tôi trong việc uốn dây đồng xử lý. Cuối cùng, vị tài phiệt này muốn làm các mô hình bằng dây vàng, để đặt trong phòng khách của ông.

Một ngày nào đó, bất ngờ, liên lạc bị đứt. Tôi cuối cùng cố gắng liên hệ với ông tại văn phòng ở Milan. Nhưng tôi được biết ông đã bị bắt giam, vì bị xác định là số hai trong vụ "Loge P2" tại Ý. Ông ra tù vài tháng sau bằng cách mua chuộc các thẩm phán. Thật tiếc, người Ý này giờ đây đã từ bỏ toán học. Nhân tiện, điều này giúp chúng tôi hiểu rõ mục đích thực sự của chuyến thám hiểm Bahamas. Thực ra, chiếc du thuyền tuyệt đẹp của ông đã được dùng để vận chuyển tiền tệ bẩn từ Ý sang Nassau, Bahamas, có lẽ từ hoạt động buôn bán ma túy. Khi chúng tôi ghé cảng này, chủ tàu, người chủ nhà của chúng tôi, đã biến mất vào một nơi ẩn náu mà ông đã chuẩn bị trong tàu, rồi xuất hiện khi cảnh sát cảng đã kiểm tra và xác minh danh tính các người trên tàu, rồi quay về đất liền. Ông sau đó