Lật ngược mặt cầu – Vụ bê bối toán học

Lật ngược mặt cầu

Ngày 8 tháng 12 năm 2004

Trang 4

Phiên bản của Bernard Morin

Để tải về phiên bản PDF của bài viết năm 1979 của B. Morin và J.P. Petit, đăng trên Pour la Science

Việc lật ngược mặt cầu (2,8 MB)

Ta bắt đầu từ một quả cầu có mặt xám hướng ra ngoài và mặt hồng hướng vào bên trong. Ở hình b và c, ta đưa hai cực chạm nhau. Sau đó các lớp mặt cầu xuyên qua nhau theo một "sự kiện kỳ dị kiểu gối". Một đường cong kín tự giao nhau được tạo ra. Ở phía dưới bên phải, ba nửa cắt giúp ta hình dung rõ hơn cấu trúc thu được. Ở giai đoạn này, quả cầu trông giống như một chiếc "thuyền cao su" tròn, có một "bánh xe" và một "sàn" hai lớp.

Bước đầu tiên: một "sự kiện kỳ dị kiểu gối". Tạo ra một đường cong kín tự giao

Thao tác thứ hai: sự kiện kỳ dị kiểu gối lần nữa, tạo ra một đường cong kín thứ hai.

Sự kiện kỳ dị kiểu gối thứ hai. Tạo ra một đường cong kín tự giao

Để thực hiện điều này, "thuyền cao su" đã bị uốn cong, với chuyển động xoắn, giúp đưa hai phần "bánh xe" đối diện nhau chạm vào nhau. Hình ảnh tiếp theo là kết quả của hai sự kiện kỳ dị dẫn đến việc tạo ra những "miếng cam" như lát.

Sau khi tạo ra hai "miếng cam"

Bên trái, ta đã thực hiện các cắt trên mô hình. Ở giữa, cách hai hình trụ, có thiết diện địa phương giống chữ cái Hy Lạp "gamma", đã xuyên qua nhau. Ta nhớ rằng sự kiện kỳ dị tạo ra "miếng cam" xảy ra bằng cách cắt một "cây gỗ" bằng hai mặt phẳng tạo thành một góc nhị diện. Mỗi cấu trúc hình trụ có thiết diện dạng "gamma" đều bao gồm cả phần cong và phần nhị diện. Hãy quan sát kỹ hình i. Ở j, ta đã vẽ toàn bộ đường cong tự giao. Đoạn cong kín lớn nhất đến từ "sự kiện kỳ dị kiểu gối" đầu tiên, khi quả cầu được biến đổi thành "thuyền cao su". Sau khi tạo ra hai miếng cam, ta thu được một cấu trúc phức tạp hơn, và j là một phần của nó. Ở j", ta thấy cấu trúc này có thể so sánh với việc ghép hai "miếng cam" vào hai cạnh không kề nhau của một tứ diện.

Tất cả điều này sẽ trở nên dễ hiểu hơn rất nhiều khi tôi có thể tạo ra các đoạn phim hoạt hình. Về mặt kỹ thuật, tôi hoàn toàn không gặp khó khăn. Chỉ là vấn đề thời gian. Ít người có thể vừa nhìn thấy trong không gian – tức là đọc được mã hóa bằng các đường nét, dấu chấm, màu sắc, bóng đổ và phản chiếu – vừa tưởng tượng được các biến đổi trong đầu, tưởng tượng ra chuyển động được gợi ý. Tôi hy vọng một ngày nào đó sẽ có đủ thời gian để làm tất cả những điều này. Nhân tiện, ta có thể dùng các mô hình đa diện, như tôi đã làm khi trình bày cách biến đổi một Crosscap thành Mặt của Boy. Đó chính là tương lai. Nhưng những mô hình này phải được sáng tạo ra. Ở phần sau, ta sẽ thấy phiên bản đa diện tối ưu của mô hình trung tâm trong phép lật ngược này, do Bernard Morin tưởng tượng ra (nhớ rằng ông ấy là người khiếm thị!), cùng với cách tự xây dựng mô hình từ một bản cắt.

Tại sao tôi không đi xa hơn nữa? Tôi sẽ nói: do thiếu "đường ra". Không có tạp chí toán học nào chấp nhận đăng các công trình như thế này. Chúng tôi từng có thể đăng được trong các bài báo ngắn tại Comptes Rendus của Viện Hàn lâm Khoa học Paris vào khoảng 1975–1978, nhưng có lẽ chẳng ai đọc cả. Chỉ vì học giả André Lichnérowicz quan tâm cá nhân đến các công trình này. Ông đã qua đời. Vì các công trình này đã hoàn tất hoàn toàn từ năm 1975, thật đáng tiếc là không thể sản xuất một bộ phim hoạt hình từ các bản vẽ của tôi. Tôi từng làm việc trong lĩnh vực hoạt hình, nên hoàn toàn có thể điều phối một dự án như vậy. Nhưng không thể tìm được tài trợ từ CNRS, và cuối cùng chính nhà toán học Mỹ Nelson Max, lấy cảm hứng từ các mẫu mô hình do đồng nghiệp Charles Pugh xây dựng (từ phiên bản lật ngược cầu này), và sử dụng một máy tính mạnh mẽ, đã sản xuất được bộ phim đầu tiên. Nhưng đây không phải lần đầu tiên, cũng chẳng phải lần cuối cùng, mà người Pháp, không nhận được sự công nhận nào cho nỗ lực của mình, lại bị các đồng nghiệp nước ngoài có tổ chức tốt hơn và được hỗ trợ tốt hơn vượt mặt.

Bây giờ ta chuyển sang giai đoạn thứ ba, khó hiểu nhất.

Chuẩn bị cho hai sự kiện kỳ dị "kiểu quần"

Trong hình k, ta có thể thấy rõ hai đầu "chân quần", chi tiết được thể hiện rõ ở hình k'. Mũi tên trắng chỉ hướng đi "qua giữa hai chân". Biến đổi này thật sự rất khó hình dung. Tôi đã thêm hình m để cố gắng diễn giải rõ hơn. Ở l, tôi dùng nét đứt để thể hiện đường cong tự giao, hiện diện đầy đủ ở hình l'. Một đoạn đi qua (đoạn mà mũi tên trắng đi qua) sẽ đóng lại. Chuyển động đóng lại này đi kèm với việc nâng một phần của đường cong giao nhau lên ở hai vị trí. Hai đoạn cong này sẽ chạm nhau, mỗi đoạn nằm trên một trong các đường thuộc "miếng cam". Khi chạm nhau, cuộc "phẫu thuật" sẽ diễn ra. Khó khăn nằm ở chỗ, sau khi đã thấy bốn sự kiện kỳ dị cơ bản ở trang trước, ta phải có khả năng tưởng tượng chúng dưới mọi góc độ, thậm chí phải xoay cổ như một con rắn. Ở n, ta thể hiện thời điểm quan trọng khi cuộc "phẫu thuật" diễn ra (tình trạng "trung gian" của biến đổi), và lúc đó cách nối các đoạn cong sẽ thay đổi. Ta biết rằng sự kiện kỳ dị "kiểu quần" đóng một lối đi và mở một lối đi khác. Lối đi ban đầu được thể hiện bằng mũi tên trắng. Nhưng còn một lối đi khác, nếu ta xoay mô hình 180 độ quanh trục thẳng đứng, ta sẽ thấy được. Hai mũi tên này thực chất chỉ là một. Trước khi các sự kiện kỳ dị xảy ra, ta vẫn có thể đi qua "thuyền cao su gập lại" này. Nhưng khi các sự kiện kỳ dị diễn ra, lối đi đó sẽ không còn khả thi nữa. Thay vào đó, hai lối đi khác đã được tạo ra. Nhưng ở đâu? Những phần nào của không gian bị ảnh hưởng? Những lối đi này sẽ nối kết bên trong các miếng cam với bên ngoài. Ở l', bạn thấy các miếng cam. Bây giờ ta chuyển sang bước tiếp theo.

Đóng lại lối đi. Hướng tới một trạng thái song song cực trị

Ở o, ta biểu diễn hai sự kiện kỳ dị "kiểu quần" ở hai giai đoạn khác nhau. Một trong hai lối đi đã hoàn toàn đóng lại. Ta đang ở trạng thái cực trị, ngay trước khi các cung cong thay đổi cách nối. Bên phải (chi tiết ở hình o'), lối đi đang trong quá trình đóng lại. Do đó, hình dạng của đường cong tự giao o" khác nhau ở hai bên. Ở các hình p, p' và p", trạng thái cực trị (tình trạng "trung gian" của biến đổi) đã đạt được ở cả hai phía. Ở trang tiếp theo, các cuộc "phẫu thuật" đã hoàn thành. Các ống mà ta thấy bắt đầu từ hình p", nối kết các "miếng cam" với bên ngoài, giờ đã được hình thành:

![](/legacy/sc