Sự lật ngược của hình torus Klein

Sự lật ngược của hình torus

Ngày 9 tháng 12 năm 2004

trang 6

Sự lật ngược không tầm thường của hình torus
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. tập 293, buổi họp ngày 5 tháng 10 năm 1981, loạt 1, trang 269-272

Tôi sẽ chỉ trình bày tiếp theo các hình vẽ, không cần bình luận thêm.

Sự lật ngược không tầm thường của hình torus. Phần đầu tiên của phép biến đổi

Sự lật ngược không tầm thường của hình torus. Phần thứ hai của phép biến đổi

Khi đạt đến hình v, ta thấy rõ ràng rằng việc ghép trùng cấu trúc xám và cấu trúc hồng để biến đổi vật thể này thành một bao phủ hai lớp của chai Klein là hoàn toàn khả thi.

Sự lật ngược sau đó xảy ra bằng cách hoán đổi hai lớp đối diện nhau. Dưới đây là hình vẽ tương tự nhưng được mã hóa bằng màu sắc.

Bao phủ hai lớp của chai Klein, với mã hóa màu sắc

( hình vẽ này không nằm trong báo cáo thường niên của tôi tại CNRS. Bạn có thể tìm thấy nó trong cuốn Topologicon )

Các họ khác nhau của hình torus

Điều mà Stephen Smale đã chứng minh vào năm 1957 là chỉ có một họ duy nhất các phép nhúng của hình cầu, và tất cả các phép nhúng này đều có thể nối với nhau bằng một phép đồng dạng. Các phép nhúng này tạo thành một nhóm, phần tử trung tính của nhóm là để nguyên vật thể như ban đầu. Người ta tự hỏi liệu điều tương tự có thể xảy ra với hình torus. Các nhà toán học Ioan James và Emery Thomas đã chứng minh rằng các phép nhúng của hình torus được chia thành bốn lục địa, giữa chúng không thể chuyển tiếp bằng một phép đồng dạng trơn tru.

Bốn họ của hình torus

Hình torus chuẩn, được vẽ ở trung tâm trang, thuộc cùng một họ với vật thể được minh họa ở b. Điều này tôi đã chứng minh một cách ngẫu nhiên trong phiên bản sự lật ngược hình torus mà tôi phát minh ra vào năm 1980. Họ được đề cập ở a đại diện cho một hình torus đã bị xoắn 360°. Hình này trông giống hình torus chuẩn, nhưng hai hình này được định nghĩa khác nhau dựa trên hệ thống bản đồ hóa, thông qua hai họ đường cong. Trong hình torus chuẩn, ta dùng hai tập hợp đường tròn tương ứng với các đường kinh tuyến và vĩ tuyến. Trên hình torus a, ta cần bổ sung họ đường tròn dán lên đó bằng một họ thứ hai, xoắn theo chiều ngược lại. Điều có thể chứng minh là không thể dùng một phép đồng dạng trơn tru để làm trùng khớp mạng lưới của hình torus a với mạng lưới của hình torus chuẩn (các đường kinh tuyến cộng với các đường vĩ tuyến). Chính vì lý do này mà chúng là những vật thể khác nhau. Tất cả các vật thể này đều có thể hình thành một bao phủ hai lớp của chai Klein.

Sức mạnh của các công cụ hình học nằm ở việc có thể dự đoán được điều gì là khả thi và điều gì là không thể. Chuyển đổi hình torus chuẩn thành hình torus ở hình b: có thể. Chuyển từ c sang d: không thể.

Điều này giúp tránh lãng phí thời gian một cách vô ích, và đặc biệt thúc đẩy việc tìm kiếm những điều hoàn toàn không hiển nhiên, như việc lật ngược một hình cầu. Điều này đúng trong mọi lĩnh vực khoa học. Đôi khi con người bỏ lỡ những hướng đi đầy tiềm năng trong nhiều năm, thậm chí cả thế kỷ, đơn giản vì họ cho rằng những điều đó là bất khả thi. Tôi đã dành vài năm trong đời để xây dựng một lý thuyết về việc loại bỏ sóng xung kích xung quanh một vật thể chuyển động với vận tốc siêu âm trong khí bằng một trường lực Laplace, thông qua "điện từ học từ tính" (MHD). Một sinh viên thậm chí đã làm luận án tiến sĩ về chủ đề này dưới sự hướng dẫn của tôi, và chúng tôi đã công bố các công trình này trên nhiều tạp chí có phản biện và hội nghị khoa học. Chủ đề này mới bắt đầu nổi lên, chỉ sau ba mươi năm. Người ta nghi ngờ rằng người Mỹ đã sở hữu những máy bay siêu âm có thể di chuyển với tốc độ Mach 10 mà không tạo ra sóng xung kích (đặc biệt là không chịu những ứng suất nhiệt khổng lồ do nén lại không khí phía sau "tiếng nổ"). Đó là huyền thoại nổi tiếng về chiếc máy bay Aurora, một thiết bị bay ở độ cao nơi xảy ra cực quang, từ 80 đến 150 km. Aurora cũng là tiền thân của các tên lửa không gian tương lai, vốn có thể tận dụng không khí để di chuyển, do đó sẽ tiết kiệm hơn nhiều so với tên lửa của CNES. Tại Pháp, việc khởi xướng các nghiên cứu như vậy là không thể (tôi đã nghĩ ra ý tưởng này vào năm 1975), vì người ta, đặc biệt là tại CNRS, cho rằng chúng hoàn toàn phi lý. Kết quả là chúng ta đã bị mất ba mươi năm so với Mỹ, theo tôi, là hoàn toàn không thể bù đắp.


Câu đùa về hộp thuốc lá

Để đầy đủ, ta cần nhắc đến các phiên bản sự lật ngược hình cầu mà trung tâm là một hộp thuốc lá. Đó là một vật thể từng phổ biến khi tôi còn trẻ, nhưng nay gần như không còn thấy nữa. Người đầu tiên vẽ ra các trình tự này là Georges Francis. Trong vài năm gần đây, tôi đang làm việc trên một phiên bản đa diện của các phiên bản này, và đã tạo ra một mô hình trung tâm khá đẹp. Nhưng để giới thiệu cho các bạn, tôi phải tìm lại được nó. Mong sớm có thể làm được điều đó, vì đây là một trong những vật thể hấp dẫn nhất mà tôi từng tạo ra.

Trang trước Trang tiếp theo

Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ

Số lần truy cập trang này kể từ ngày 8 tháng 12 năm 2004: