Lật ngược hình trụ Klein

Lật ngược hình trụ

Ngày 9 tháng 12 năm 2004

Trang 6

Lật ngược hình trụ không tầm thường
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. Tập 293, buổi họp ngày 5 tháng 10 năm 1981, loạt 1, trang 269-272

Tôi sẽ chỉ trình bày tiếp theo các hình vẽ, không cần bình luận thêm.

Lật ngược hình trụ không tầm thường. Phần đầu tiên của phép biến đổi

Lật ngược hình trụ không tầm thường. Phần thứ hai của phép biến đổi

Khi đạt đến hình v, ta thấy rằng lúc này rất dễ để ghép trùng cấu trúc xám và cấu trúc hồng, từ đó biến đổi vật thể này thành một lớp phủ hai lớp của chai Klein.

Lúc này, phép lật ngược được thực hiện bằng cách trao đổi hai lớp đối diện nhau. Dưới đây là cùng một hình vẽ nhưng với mã màu.

Lớp phủ hai lớp của chai Klein, với mã màu

( Hình vẽ này không nằm trong báo cáo hàng năm của tôi cho CNRS. Bạn có thể tìm thấy nó trong cuốn Topologicon )

Các họ khác nhau của hình trụ

Điều Stephen Smale chứng minh được vào năm 1957 là chỉ có một họ duy nhất của các nhúng hình cầu, và tất cả các nhúng này đều có thể nối với nhau bằng một phép đồng dạng. Chúng tạo thành một nhóm, phần tử trung tính là để nguyên vật thể như ban đầu. Người ta tự hỏi liệu điều tương tự có xảy ra với hình trụ hay không. Các nhà toán học Ioan James và Emery Thomas đã chứng minh rằng các nhúng hình trụ được phân bố thành bốn lục địa, giữa chúng không thể đi qua bằng một phép đồng dạng trơn.

Bốn họ của hình trụ

Hình trụ tiêu chuẩn, được vẽ ở trung tâm trang, thuộc cùng một họ với vật thể được minh họa ở b. Điều này tôi đã chỉ ra một cách ngầm trong phiên bản lật ngược hình trụ mà tôi tự nghĩ ra vào năm 1980. Họ được nhắc đến ở a đại diện cho một hình trụ đã bị xoắn 360°. Nó trông giống hình trụ tiêu chuẩn, nhưng hai hình này được định nghĩa khác nhau dựa trên hệ thống bản đồ, thông qua hai họ đường cong. Ở hình trụ tiêu chuẩn, ta dùng hai tập hợp đường tròn tương ứng với các đường kinh tuyến và vĩ tuyến. Ở hình trụ a, ta phải bổ sung họ đường tròn dán lên đó bằng một họ thứ hai, xoắn theo chiều ngược lại. Điều có thể chứng minh được là không thể dùng một phép đồng dạng trơn để làm trùng khớp mạng lưới của hình trụ a với mạng lưới của hình trụ tiêu chuẩn (các đường kinh tuyến cộng với các đường vĩ tuyến). Chính vì lý do này mà chúng là những vật thể khác nhau. Tất cả các vật thể này rõ ràng đều có thể được cấu hình thành một lớp phủ hai lớp của chai Klein.

Sức mạnh của các công cụ hình học nằm ở việc có thể tiên đoán được điều gì là khả thi và điều gì là không thể. Chuyển hình trụ tiêu chuẩn thành hình trụ ở hình b: có thể. Chuyển từ c sang d: không thể.

Điều này giúp tránh lãng phí thời gian vô ích, và đặc biệt thúc đẩy việc tìm kiếm những điều hoàn toàn không hiển nhiên, như việc lật ngược một hình cầu. Điều này đúng với mọi lĩnh vực khoa học. Đôi khi con người bỏ lỡ những hướng đi đầy tiềm năng trong nhiều năm, thậm chí cả thế kỷ, đơn giản vì họ cho rằng những điều đó là bất khả thi. Tôi đã dành vài năm trong đời để xây dựng một lý thuyết về việc loại bỏ sóng xung kích xung quanh một vật thể chuyển động với tốc độ siêu âm trong khí bằng một trường lực Laplace, thông qua "điện từ học từ trường" (MHD). Một sinh viên thậm chí đã làm luận án tiến sĩ về chủ đề này dưới sự hướng dẫn của tôi, và chúng tôi đã công bố các công trình này trên nhiều tạp chí có phản biện và hội nghị khoa học. Chủ đề này mới bắt đầu được quan tâm, chỉ sau ba mươi năm. Người ta nghi ngờ rằng người Mỹ đã sở hữu những máy bay siêu âm có thể di chuyển với tốc độ Mach 10 mà không tạo ra sóng xung kích (đặc biệt là không chịu những ứng suất nhiệt khổng lồ do nén lại không khí phía sau "tiếng nổ"). Đó là huyền thoại nổi tiếng về chiếc máy bay Aurora, chiếc máy bay bay ở độ cao nơi xảy ra hiện tượng cực quang, từ 80 đến 150 km. Aurora cũng là tiền thân của các tên lửa không gian tương lai, vốn có thể dựa vào không khí để di chuyển, do đó sẽ tiết kiệm hơn nhiều so với tên lửa của CNES. Ở Pháp, việc khởi xướng những nghiên cứu như vậy là bất khả thi (tôi đã có ý tưởng này vào năm 1975), vì người ta, đặc biệt là tại CNRS, cho rằng chúng hoàn toàn phi lý. Kết quả là chúng ta đã bị tụt lại ba mươi năm so với Mỹ, theo tôi, hoàn toàn không thể bắt kịp.


Câu đùa về hộp thuốc lá

Để đầy đủ, cần đề cập đến các phiên bản lật ngược hình cầu với chủ thể trung tâm là một hộp thuốc lá. Đây là một vật thể từng phổ biến khi tôi còn trẻ, nhưng nay gần như không còn gặp nữa. Người đầu tiên vẽ ra các trình tự này là Georges Francis. Trong vài năm trở lại đây, tôi đang làm một phiên bản đa diện của các phiên bản này, và đã tạo ra một mô hình trung tâm khá đẹp. Nhưng để trình bày cho các bạn xem, tôi cần phải tìm lại được nó. Mong sớm làm được, vì đây là một trong những vật thể hấp dẫn nhất mà tôi từng tạo ra.

Trang trước Trang tiếp theo

Quay lại Hướng dẫn Quay lại trang chủ

Số lần truy cập trang này kể từ ngày 8 tháng 12 năm 2004: