4
.
Nhận xét rằng hệ thống được đưa ra cho trẻ không phải là hoàn hảo. Nó chỉ hoạt động đúng đắn nếu các vật thể được cung cấp là những vật đã được bán kèm theo trò chơi. Cần lưu ý rằng ngăn "các hình trụ" cho phép đưa vào những hình trụ có cùng bán kính nhưng độ dài khác nhau, cũng như những chiếc kẹp giấy, núm vú giả, chìa khóa tủ, v.v...
Hợp lý, đứa trẻ trải qua quá trình học tập theo nhóm này sẽ suy ra rằng một chiếc chìa khóa tủ và một hình trụ là những vật thuộc cùng một loại. Đúng vậy, theo nghĩa là chúng có thuộc tính chung là "có thể lọt qua lỗ đó".
Con gái tôi, khi còn nhỏ hơn nhiều, đã thực hiện những thí nghiệm rất thú vị về nhóm bằng cách dùng đầu đọc máy tính của tôi làm cửa sổ đầu vào, làm bộ lọc. Phải tháo rời hoàn toàn thiết bị sau khi vô hiệu hóa mới có thể tái tạo lại cách suy luận của cô bé, một cách hợp lý tổng thể. Hiện nay cô vẫn rất bị thu hút bởi các nhóm. Nhưng đó không phải là những nhóm như trước, và những lựa chọn như vậy khiến tôi không mấy hài lòng.
Quay lại cậu bé vừa rồi. Vài tháng sau, bạn sẽ giới thiệu chính cậu bé này với nhóm Galilée bằng cách ném các vật thể và khuyến khích cậu bắt lấy chúng. Lúc này, hình dạng vật thể không còn quan trọng nữa; điều quan trọng là chuyển động của chúng. Ta đã chuyển sang một nhóm khác. Với đứa trẻ, vật thể (có kích thước đủ nhỏ để cậu có thể bắt được) trở nên tương đương với trọng tâm của nó. Đó là một "điểm khối lượng", một "điểm vật chất". Nhóm Galilée quản lý
động lực học của các điểm vật chất.
Phân loại lúc này được thực hiện theo các loại chuyển động.
-
Cái này, tôi có thể bắt được.
-
Cái này, tôi không thể bắt được.
Dựa vào trực giác, đứa trẻ đánh giá các điều kiện ban đầu — vị trí và vectơ vận tốc — rồi nhận diện loại chuyển động mà mình đang đối diện, từ đó dự đoán trước.
Lớn lên, có lẽ cậu sẽ chơi quần vợt, luôn vận dụng nhóm Galilée, giống như nhóm Euclid, là một ma trận vuông. Vì các quả bóng quần vợt di chuyển với tốc độ rõ ràng nhỏ hơn tốc độ ánh sáng, cậu sẽ không cần phải dùng đến nhóm Poincaré (một ma trận vuông khác, điều khiển chuyển động
tương đối
của các điểm vật chất).
Tuy nhiên, các điểm vật chất do nhóm Galilée điều khiển không còn là các điểm trong nhóm Euclid; chúng có thêm
đặc tính.
Nhà chuyên môn về
vật lý toán học
sử dụng nhóm Galilée không còn nói về các điểm vật chất nữa, mà nói về
chuyển động.
Điều họ muốn phân loại chính là các chuyển động. Khi đó, ta chạm vào một khía cạnh thiết yếu của vật lý hạt cơ bản: ta tìm cách gán cho hạt một mô tả hiện tượng học:
Nói cho tôi biết chuyển động của bạn như thế nào, tôi sẽ nói cho bạn biết bạn là gì.
Ta không còn tìm hiểu "hạt được cấu tạo từ cái gì", mà là cách nó
hành xử.
Vì vậy, các hạt trung hòa không hành xử giống như các hạt tích điện. Chúng thuộc các loại khác nhau, sở hữu các đặc tính khác nhau.
Cậu bé ngày xưa, giờ đã trở thành nhà vật lý năng lượng cao, có lẽ mỗi ngày đều xem xét những bức ảnh chụp trong buồng bọt.
Ảnh được thu được bằng buồng bọt (Schem..)
Ảnh bên trái: một proton, một neutron và một electron đã đi qua vùng từ trường của buồng. Buồng này chịu tác động của từ trường vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Neutron, không mang điện tích, không bị ảnh hưởng. Đó là vật đi thẳng. Các hạt tích điện có bán kính quay (bán kính Larmor) rất khác nhau. Các electron nhẹ quay rất nhanh trong từ trường vuông góc với phương chuyển động so với các proton nặng. Và cả hai đều quay theo chiều ngược nhau.
Tập hợp các chuyển động, trong từ trường, được điều khiển bởi...
Nhưng nhóm này vẫn chưa tồn tại. Nếu bạn tìm thấy nó, bạn sẽ làm rất nhiều người hạnh phúc.
Dù sao đi nữa, người đàn ông đang xem xét các bức ảnh của mình phát hiện ra những quỹ đạo thuộc các tập hợp chuyển động khác nhau.
-
Cái này đi thẳng, là neutron.
-
Cái này đi vòng phải chậm, là proton.
-
Cái này đi vòng trái nhanh, là electron.
Ảnh bên phải: một electron và một phản electron, sinh ra từ cùng một bức xạ (đường chấm), có quỹ đạo đối xứng, dấu hiệu cho thấy chúng mang điện tích trái ngược nhau.
Phân loại các loại theo hành vi, như tập hợp các chuyển động.
Mômen.
Vật thể thuần túy hình học này có thể được xem như một tập hợp các đặc tính. Bỏ qua các hạt tích điện, ta sẽ quay lại sau. Một "điểm vật chất tương đối" có các đặc tính được nhóm theo cách mà nhà toán học Jean-Marie Souriau, người tiên phong trong lĩnh vực
vật lý toán học,
gọi là
mômen liên kết với nhóm Poincaré.
Các đặc tính của điểm vật chất tương đối được gọi là:
-
Năng lượng E
-
Động lượng
p
- Quay xoáy
l (liên quan đến spin)
- Di chuyển
f
Do đó, "mômen" được biểu diễn như sau: J = { E,
p,
l,
f }
Lưu ý ngang qua:
Từ nay về sau, trong toàn bộ phần tiếp theo, ta sẽ dùng chữ thường để chỉ các đại lượng vô hướng, và chữ in đậm để chỉ các đại lượng không vô hướng (ma trận vuông, ma trận hàng, ma trận cột).
Chú ý: Ta có thể thực hiện mọi phép nhân ma trận hàng-cột bằng cách sử dụng các chữ thường hoặc chữ in đậm, điều này cực kỳ thuận tiện. Dưới đây là một ví dụ. Hành động của phần tử nhóm Euclid 2D được viết như sau:
Khi đưa vào:
ta sẽ có dạng viết gọn hơn:
g giờ đây có dạng một ma trận, gồm các ma trận con:
-
a là ma trận vuông kích thước (2,2).
-
c là vectơ cột (vectơ dịch chuyển) kích thước (2,1).
-
0 là vectơ hàng kích thước (1,2):
Thông thường, các 0 in đậm có thể là vectơ hàng hoặc vectơ cột tùy ý.
Hành động được viết lại như sau:
Do
a r
có nghĩa là
a x r
(tuy nhiên, ta dần bỏ qua dấu nhân ma trận).
Kết thúc phần lưu ý, quay lại chủ đề mômen. Quay lại biểu thức mômen trong trường hợp điểm vật chất tương đối. J = { E,
p,
l,
f }
E là một vô hướng (năng lượng).
p
là vectơ
động lượng.
l
và
f
(chữ in đậm) là các vectơ khác (lx, ly, lz) và (fx, fy, fz): "quay xoáy" và "di chuyển".
Trong quá trình nghiên cứu cá nhân mà chúng tôi sẽ trình bày trong phần dưới này của trang web Geometrical Physics B (các nhóm động lực học trong vật lý), vấn đề chính là làm nổi bật các "đặc tính" khác của hạt cơ bản, như thành phần của một mômen phong phú hơn (các điện tích: điện, baryon, lepton, tauon và hệ số từ tính).
Chính Souriau, vào những năm 1970, đã xây dựng phương pháp giúp làm xuất hiện các thành phần mômen của một điểm vật chất, bắt nguồn từ nhóm điều khiển nó (trong trường hợp tương đối, đó là nhóm Poincaré). Xem tác phẩm:
Cấu trúc các Hệ thống Động lực học. Dunod 1973
Rất nên dùng aspirin.
Thật khó để đi xa hơn mà không cần sử dụng một công cụ toán học khá rộng lớn, nếu không nói là phức tạp. Có lẽ ta sẽ làm điều đó sau này, trên trang web, nếu có người yêu thích, theo phong cách "Tất cả những gì bạn từng muốn biết về nhóm mà chưa dám hỏi".
Quay lại mục lục phụ "nhóm và vật lý"