6
Chúng ta sẽ không viết ra các thành phần của moment nhóm Bargmann. Một cách sơ lược, hãy viết moment của nhóm Bargmann như sau:
J B = { một đại lượng vô hướng m, cộng với các thành phần khác của moment }
Hành động liên hợp
chỉ ra cách các thành phần khác nhau của moment chuyển đổi. Nhưng hành động liên hợp này bắt đầu từ mối quan hệ đơn giản:
(63)
m' = m
Hành động liên hợp của nhóm Bargmann lên moment của nó bắt đầu bằng việc bảo toàn khối lượng, từ đó khối lượng xuất hiện với một
vị trí thuần túy hình học
.
Xây dựng hành động liên hợp của nhóm Poincaré lên không gian moment J p của nó.
Nếu bạn đã hoàn toàn bối rối, hãy bỏ qua. Điều đó là bình thường và sẽ ngày càng khó dần theo từng trang. Tôi không còn rõ nữa, ở giai đoạn này, người đọc mục tiêu của phần sau là ai. Có lẽ là các nhà vật lý lý thuyết hoặc các nhà toán học, nhưng chắc chắn không phải là các thợ điện - thợ sắt. Tuy nhiên, một sinh viên trường Đại học hoặc sinh viên năm nhất ngành vật lý, nếu kiên trì theo dõi, vẫn có thể hiểu được. Đó chỉ là những ma trận.
Tất cả bắt đầu từ một nhóm ma trận kích thước (4,4) tạo thành nhóm Lorentz, phần tử của nó là L.
Chúng được định nghĩa theo tiên đề từ một ma trận G:
(64)
theo điều kiện:
(65)
t L G L = G
trong đó t L là ma trận chuyển vị của L.
Các ma trận L tạo thành một nhóm.
Chứng minh.
Phần tử đơn vị là L = 1:
Giả sử L₁ và L₂ là hai phần tử trong tập hợp. Hãy kiểm tra xem tích L₁L₂ có thuộc nhóm hay không. Nếu đúng thì:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = G
Nhưng:
t (AB) = tB tA
Do đó:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = tL₂ tL₁ G L₁L₂ = tL₂ (tL₁ G L₁) L₂ = tL₂ G L₂
Tiếp theo, tính ma trận nghịch đảo của L. Từ định nghĩa tiên đề của các phần tử L:
tL G L = G
Nhân cả hai vế về phía phải với L⁻¹:
tL G L L⁻¹ = G L⁻¹ → tL G = G L⁻¹
Nhân cả hai vế về phía trái với G:
G tL G = G G L⁻¹ → G tL G = L⁻¹
Vậy ma trận nghịch đảo của L là:
L⁻¹ = G tL G
Do đó:
(66)
vectơ không-thời gian. Ma trận G đến từ metric Minkowski, có thể viết lại (với c = 1) như sau:
(67)
Bài tập: chứng minh rằng ma trận nghịch đảo thỏa mãn:
(68)
Tiếp theo, ta đưa vào một vectơ dịch chuyển không-thời gian:
(69)
Từ đó tạo ra phần tử gₚ của nhóm Poincaré:
(70)
Bài tập: chứng minh rằng điều này tạo thành một nhóm và tính ma trận nghịch đảo:
(71)
Sau đây là "vectơ tiếp tuyến với nhóm", phần tử của "Đại số Lie" của nó:
(72)
Từ đây ta sẽ tính hành động ngược:
(73)
d gₚ' = gₚ⁻¹ × d gₚ × gₚ
Để thuận tiện tính toán, ta nhận thấy rằng:
(74)
G dL là một ma trận phản đối xứng. Gọi nó là:
(75)
do đó:
(76)
Đặt:
(77)
Từ các yếu tố này, ta sẽ xây dựng hành động ngược:
(78)
d gₚ' = gₚ⁻¹ × d gₚ × gₚ
Sau khi thực hiện mọi phép tính, ta sẽ thu được ánh xạ:
(79)
Nếu bạn muốn bỏ qua phần tính toán ma trận đơn thuần này, hãy chuyển đến phương trình (80), ở cuối trang.
(79a)
(79b)
từ đó suy ra các thành phần của hành động ngược:
(79c)
nhưng:
(79d)
do đó:
(79e)
nhưng GG = 1
nên:
(79f)
từ đó suy ra ánh xạ:
(79g)
Đây chính là hành động ngược cần tìm, ánh xạ:
(80)
Quay trở lại mục nhỏ "nhóm và vật lý"