7
Một phần tử
g
p của nhóm Poincaré Gp được xác định bởi một dãy tham số {
p
i}, mà như chúng ta đã nói, số lượng của chúng biểu thị
số chiều của nhóm
. Ma trận
d g
(g = e)
được tạo thành từ các đại lượng {
dp
i} . Do đó, phép ánh xạ trên có dạng:
(81)
Nói cách khác, với một tập hợp các đại lượng vô hướng
dp
i, ta tương ứng với một số lượng bằng nhau các đại lượng vô hướng
dp
i
'.
Tính đối ngẫu được xác định bằng cách giả sử sự bất biến của một đại lượng vô hướng, theo:
(82)
n là số chiều của nhóm (mười, đối với nhóm Poincaré). Các đại lượng Ji biểu thị các thành phần của mômen, có cùng số lượng.
Chúng ta sẽ quyết định phân tích mômen
J thành hai đối tượng. Đối tượng đầu tiên là một ma trận
anti-xi đối xứng kích thước (4,4), do đó có sáu thành phần, và đối tượng thứ hai là một "vector bốn chiều"
P, ma trận kích thước (4,1):
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Chúng ta sẽ viết tích vô hướng dưới dạng:
(85)
Tr có nghĩa là "vết của", và ta sẽ có thêm:
(86)
dạng tuyến tính mà tính bất biến của nó đảm bảo tính đối ngẫu.
với:
(87)
(87b)
(87c)
nhưng
GG
= 1
do đó điều này bằng:
(88)
Xác định các số hạng theo
y (89)
Nghĩa là:
(90)
----> Ở đây tiếp theo là các chi tiết tính toán ma trận. Nếu bạn muốn,
bằng cách nhấp vào đây
bạn có thể trực tiếp đến kết quả
Trong vết, ta có thể thực hiện một hoán vị vòng quanh các số hạng.
(90a)
(90b)
(90c)
số hạng thứ hai ở vế phải bằng tích của một ma trận hàng với một ma trận cột.
Điều này bằng với vết của tích ngược (sau đây, sơ đồ tích của một ma trận hàng với một ma trận cột):
(90d)
Trong vết này, tôi có thể thực hiện một hoán vị vòng:
(90e)
Do đó:
(90f)
(90g)
Ở đây ta sẽ áp dụng lại định lý về vết của các ma trận là tích của một ma trận khác với một ma trận đối xứng.
Mọi ma trận đều có thể được làm đối xứng hoặc phản đối xứng. Hơn nữa, vết của tích giữa một ma trận với một ma trận đối xứng là bằng không.
(90h)
Tôi có thể áp dụng điều này cho ma trận (90i)
vì ta đang lấy vết
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
nhưng:
(90l)
do đó
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
và:
(90q)
cuối cùng:
(90r)
Kết hợp lại và đổi vị trí dấu phẩy, ta thu được hành động nhóm của tôi:
Hình ảnh
Quay lại mục con "nhóm và vật lý"