9
Hạt có spin.
Nhóm Poincaré mô tả chuyển động tương đối của một vật điểm. Tương tự, nhóm Bargmann, biểu thức của nó sẽ được nêu ra sau đây, mô tả chuyển động phi tương đối của một vật điểm, được gọi là "khối điểm".
Do đó, ta thấy rằng kỹ thuật này, tính toán hành động liên hợp của nhóm lên không gian xung lượng, đã giúp làm nổi bật những yếu tố ẩn giấu, những thuộc tính của vật thể: các
thành phần của xung lượng
.
Điều đáng chú ý là cách tiếp cận này, do Souriau đề xuất, làm xuất hiện các đối tượng cốt lõi trong vật lý học
như những đối tượng thuần túy hình học
. Như vậy, ông đã thực hiện một công trình chưa từng có trong việc
hình học hóa vật lý học
.
Ngoài năng lượng và xung lượng, các thành phần khác—"quay vòng" và "đi qua"—gây khá nhiều bối rối cho nhà vật lý. Cái gì vậy?
Biểu thức các thành phần của xung lượng rõ ràng phụ thuộc vào hệ tọa độ được chọn.
Cách đơn giản nhất có lẽ là quay lại trường hợp phi tương đối, tức là biểu thức của hành động liên hợp, như nó đã xuất hiện từ phân tích nhóm Bargmann.
(111)
Công thức bí ẩn. Nó dùng để làm gì? Hoạt động thế nào?
Trong khung trên, nhà vật lý sẽ nhận ra một số đối tượng quen thuộc:
(112)
chỉ là hai cách biểu diễn của vectơ vận tốc { vx , vy , vz }, một dưới dạng ma trận cột và một dưới dạng ma trận hàng. Tích của hai ma trận này là một vô hướng:
(113)
điều gì đó bắt đầu giống như năng lượng động.
m v
là một xung lượng.
Nhà vật lý truyền thống, khi nói đến động lực học của một chất điểm, chỉ biết ba thứ:
-
Khối lượng m
-
Xung lượng m v
-
Năng lượng động 1/2 mv²
Đúng vậy, nhưng vận tốc
so với cái gì?
Một nhóm cũng là một
góc nhìn
về sự vật. Ta có thể coi rằng, bằng cách sử dụng nhóm, ta đang vận chuyển các đối tượng (như đã thấy với nhóm Euclid), so với một người quan sát được giả định là đứng yên, hoặc, nếu đối tượng là cố định, thì ta quan sát nó theo một cách khác.
Nếu ta chọn cách dịch chuyển, vận chuyển các đối tượng, trong bối cảnh các
nhóm động lực học
—những nhóm của vật lý (phân biệt với nhóm Euclid nơi thời gian không xuất hiện)—ta phải nói rằng ta đang
kích hoạt
các đối tượng, trao cho chúng vận tốc v và năng lượng E.
Nếu ta chọn quan điểm ngược lại: coi đối tượng là cố định và tự mình di chuyển, thì ta nên hiểu các nhóm như thế nào?
Nhóm Euclid lúc đó có nghĩa là: "Nhìn từ nơi khác và dưới một góc khác".
"Điểm khác" chính là vectơ dịch chuyển:
(114)
"Cách nhìn dưới một góc khác" là ma trận quay a, một phép quay trong không gian (có thể khai triển bằng các góc Euler, điều mà ta sẽ không làm).
Trong bối cảnh các nhóm động lực học, góc nhìn này, quan điểm về "sự vật", phải được làm phong phú thêm. Vẫn trong ngữ cảnh nhóm Bargmann, việc đưa vào vận tốc v có nghĩa là, ngoài việc quan sát khối điểm từ một nơi khác (vectơ dịch chuyển c) và dưới một góc khác (ma trận quay a), người quan sát cũng đang chuyển động với vận tốc v so với khối điểm được giả định là đứng yên.
Và để đầy đủ, để làm phức tạp thêm, người quan sát không tiến triển theo cùng một thời gian với hạt, với khối điểm được quan sát. Người đó bị lệch thời gian một khoảng Δt. Nói cách khác: người quan sát nhìn từ một nơi khác, nhưng đó là một "nơi khác" không gian-thời gian, tương ứng với vectơ dịch chuyển không gian-thời gian:
(115)
Bằng cách có được một "khoảng cách" như vậy, so với khối điểm này, tôi nhận thấy điều gì? Thứ nhất: m' = m
Điều này không ảnh hưởng đến khối lượng của nó.
Tôi có thể đơn giản hóa cuộc sống bằng cách loại bỏ phép quay. Đã đủ phức tạp khi quan sát một khối điểm từ một nơi khác, nhìn từ một thời điểm khác, lệch thời gian, đang ngồi trên một chiếc xe trượt tuyết chuyển động với vận tốc v. Liệu có thực sự cần thiết phải nghiêng cổ không?
Không. Hãy đặt a = 1.
Tuy nhiên, trong các tính toán thông thường, người ta thường bỏ qua chi tiết này. Hành động liên hợp, khi được đặc biệt hóa như vậy, trở thành:
(117)
"Xem xét" ở đây phải được hiểu theo nghĩa gốc của nó. Khi tôi xem xét một tình huống, bầu trời, một chiến trường, hay một đoạn phim được quay bởi một máy bay gián điệp, tôi đang làm gì?
Một thẩm phán sẽ viết:
- Xét thấy hiện trạng tại hiện trường...
Hình ảnh tĩnh, tương ứng với nhóm Euclid. Thẩm phán quan sát các đối tượng từ khoảng cách c, vào cùng một thời điểm (Δt = 0), về nguyên tắc đứng yên (v = 0). Trong các trường hợp đặc biệt, dưới một góc nhất định, "một góc nào đó".
Một tướng quân đi dạo trong một máy bay trinh sát là một dạng thẩm phán đang di chuyển (v ≠ 0).
Nhưng một sĩ quan tham mưu cấp cao đang xem đoạn phim do máy bay gián điệp hay "drone" quay lại thì đang đối diện với một tình huống bị lệch thời gian. Ông buộc phải tự nói:
- Hãy xem xét mục tiêu, được nhìn từ điểm này, đang rẽ nghiêng, với vận tốc này, và hơn nữa, như nó xuất hiện hai giờ trước...
Mục tiêu không có vận tốc riêng biệt nào. Ta không thể coi nó là đứng yên, dù đó là "một cơ sở cố định". Ngay cả Trái Đất cũng chuyển động, Mặt Trời cũng vậy, thiên hà cũng vậy.
Quay trở lại mục con "nhóm và vật lý"