f5101

Một biểu diễn giải tích của bề mặt Boy

J.P. Petit và J. Souriau

.

Dưới đây là bản sao của một bài báo đăng trên Tạp chí Báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Paris, ký tên J.P. Petit và J. Souriau, xuất bản năm 1981.

Công trình này có một câu chuyện. Cho đến khi cuốn sách tranh Topologicon của tôi ra đời vào năm 1985, do Nhà xuất bản Belin thuộc loạt sách Những cuộc phiêu lưu của Anselme Lanturlu, thì các biểu diễn của bề mặt Boy trong các tài liệu chuyên ngành vẫn còn rất hiếm. Người ta chỉ tìm thấy vài bức ảnh mô hình được làm bằng xi măng hoặc bằng lưới gà. Charles Pugh, thuộc khoa Toán học của Đại học Berkeley, là chuyên gia hàng đầu thế giới về việc dùng lưới gà. Chính bằng chính vật liệu này, ông đã giành được một giải thưởng lớn về tài chính khi chế tạo các mô hình minh họa quá trình lật ngược mặt cầu theo Bernard Morin, những mô hình sau đó được số hóa bởi Nelson Max để chuyển thành một bộ phim, hiện đang được lưu hành tại mọi khoa Toán học trên thế giới.

Nhưng tôi cảm thấy lưới gà vẫn là một vật liệu quá tầm thường, đặc biệt khi dùng cho những chủ đề khoa học cao cấp như thế này. Sau khi quen biết một nghệ sĩ điêu khắc tên là Max Sauze, tôi bắt đầu học kỹ thuật dùng dây đồng mềm nhưng cứng cáp, mà Max khéo léo hàn nối, cố gắng không làm nóng quá để tránh sinh ra ứng suất dư trong vật liệu.

Bạn tôi Jacques Boulier, còn được gọi là Vasselin, lúc đó là giảng viên tại Trường Mỹ thuật Aix-en-Provence. Một năm, ông đề nghị tôi thay thế một giáo viên của ông, người vừa đi nước ngoài, điều mà tôi đã làm, đảm nhận công việc bán thời gian cùng với Sauze. Trong lúc tôi sáng tạo các vật thể, Max hàn chúng lại. Các sinh viên của chúng tôi, tò mò quanh quẩn xung quanh, cố gắng bắt chước chúng tôi một cách tốt nhất. Năm đó, một khu vực của Trường Mỹ thuật Aix-en-Provence đã trở thành một xưởng sản xuất hàng loạt các bề mặt toán học.

Nếu bạn muốn thử, điều đó không hề khó. Bạn cần một cuộn dây đồng có đường kính khoảng 1,5 mm (tối đa 2 mm), và một cặp kìm cắt. Với những vật liệu này, bạn có thể mô phỏng hai họ đường cong tạo nên bất kỳ bề mặt nào.

Vấn đề nằm ở chỗ phải tạo hình các vật thể một cách hợp lý. Để làm được điều đó, tốt nhất là có thể trượt các điểm nối, nơi các "kinh tuyến" và "vĩ tuyến" giao nhau. Một giải pháp tốt là buộc hai sợi kim loại lại với nhau bằng chỉ may. Việc buộc đủ chặt để giữ hình dạng, nhưng vẫn đủ trơn để cho phép thay đổi hình dạng và điều chỉnh.

Chỉ khi bạn cảm thấy vật thể đã đạt đúng chuẩn về mặt toán học theo mong muốn, bạn mới có thể giao nó cho một người khéo tay, biết dùng que hàn bạc và có thể hàn mà không làm nóng các thanh, điều mà Max từng làm một cách tinh tế.

Một ngày, tôi mang theo một mẫu thử của bề mặt Boy, đã tìm ra cách sắp xếp các kinh tuyến và vĩ tuyến. Nghe nói, có thể làm sao cho các kinh tuyến trông giống hệt như một họ đường elip.

Max đã sao chép cẩn thận mẫu đó. Tôi đến nhà Souriau. Con trai ông (người chưa bao giờ có đủ kiên nhẫn để tốt nghiệp ngành Vật lý) đang chơi với máy Apple II của cha mình. Tôi nói với cậu ta:

• Jérôme,
  bạn có muốn có một bài báo toán thuần túy được đăng tên mình không?

• À, tại sao không?
  Phải giết ai để làm điều đó?

• Không ai cả. Bạn thấy cái vật này. Lấy thước đo góc, đo những đường elip này, và thử xây dựng một biểu diễn bán thực nghiệm của bề mặt này.

• Có thể thử xem,
  cho đi...

Hai ngày sau, công việc đã hoàn thành. Bài báo được chấp nhận nhanh chóng tại Tạp chí Báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Paris và được công bố dưới hai tên: J.P. Petit và J. Souriau.

Nhưng vì cha tên là Jean-Marie còn con là Jérôme, nên tất cả các nhà toán học đều tin rằng đây là công trình do chính Souriau cha và tôi cùng thực hiện.

Việc vẽ bề mặt bằng máy tính, dùng một chương trình BASIC nhỏ gọn chỉ vài dòng, đã khiến rất nhiều nhà toán học ngạc nhiên, vì họ tưởng sẽ phải dùng một thứ phức tạp hơn nhiều. Sự việc này đã gây ra một hậu quả không mong muốn. Nhà toán học Bernard Morin có một học trò đang làm luận án tiến sĩ, Apéry, con trai của Apéry cha, tác giả của định lý "vô cùng đáng kinh ngạc" rằng tổng các lập phương của các số nguyên là một số vô tỉ. Ngoài ra...

Tôi không biết điều đó. Sự tiến bộ của chúng tôi khiến Morin lo lắng, đặc biệt khi tôi ngây thơ khẳng định rằng phương pháp này có thể mô tả bề mặt bốn tai nổi tiếng mà ông đã làm nên danh tiếng, bề mặt từng được Pugh xây dựng bằng lưới gà, sau đó được Max số hóa, v.v.

Morin nhíu mày:

• Không, điều đó là không thể! ...

Chúng ta sẽ bàn đến chuyện này sau. Tôi vẫn tin ngược lại. Nhưng câu nói đó giống như lời đáp trả nổi tiếng mà Archimède từng nói với tên lính La Mã đang làm phiền ông trong lúc suy nghĩ – Noli tangere circuleos meos!

Tạm dịch: "Đừng chạm vào các đường tròn của tôi!"

Ở đây, nó lại gần với: "Đừng chạm vào các elip của tôi!"

Sau này, Apéry đã tận dụng phát hiện của tôi – rằng bề mặt Boy có thể được trang bị hệ thống kinh tuyến elip – để xây dựng phương trình ẩn đầu tiên của đối tượng:

f(x, y, z) = 0

Morin tức giận vì thấy tôi xuất hiện như một kẻ xâm nhập vào các công trình toán học của ông, nên đã ép Apéry phải ghi rõ trong luận án rằng chính Sauze mới là người tìm ra ý tưởng về các elip. Max không phủ nhận, nhưng điều đó là sai sự thật. Bằng chứng nằm ở cái hầm nhà tôi: mẫu mô hình mà tôi mang đến cho Max để ông hoàn thiện.

Cuối cùng, tất cả những điều này thật ra khá buồn cười. Câu chuyện này chỉ nhằm chứng minh rằng các nhà toán học không thông minh hơn các nhà vật lý.

Nhà toán học Polytechnique Colonna, người tiên phong trong lĩnh vực hình ảnh tổng hợp, đã sử dụng toàn bộ các phương trình của chúng tôi mà không ghi rõ nguồn gốc. Nhưng có một chi tiết thú vị: nếu bạn thấy trên màn hình hình ảnh của bề mặt Boy, và đó là "bề mặt của chúng tôi", thì chắc chắn sẽ có ba nếp gấp nhỏ gần cực của nó – một lỗi điều chỉnh trong phương trình. Jérôme, con trai Souriau, đã làm vội vàng, và một lần hàn nhẹ cuối cùng gần cực sẽ rất hữu ích. Dù sao, điều đó vẫn có thể thực hiện được, nếu ai đó muốn.

Câu chuyện về bề mặt Boy vẫn chưa kết thúc. Để đầy đủ, hãy nhắc đến một nhân vật: Carlo Bonomi, một tỷ phú người Ý. Tôi quen biết ông trong một chuyến thám hiểm đến Vùng tam giác Bermuda (nhưng đó là một câu chuyện khác). Lúc đó chúng tôi đang lướt nhanh trên du thuyền của ông, xa hoa đến mức khiến người ta phải ngỡ ngàng, tìm kiếm một ngôi tháp bị chìm, được nhắc đến trong một cuốn sách của Charles Berlitz. Chúng tôi không tìm thấy tháp, và gần như bị cá mập – những sinh vật hung hãn thường xuất hiện ở khu vực này – nuốt chửng. Nếu bạn có bản đồ thế giới, nơi mà "Tháp Atlantis" được cho là tồn tại nằm ở phía tây nam một rạn san hô tên là Cay Sal Balk, cách Cuba khoảng 80 km về phía nam.

Giữa hai lần lặn và hai bữa tối với trứng cá hồi, tôi đề nghị Bonomi tài trợ sản xuất hàng loạt bề mặt Boy. Ý tưởng này khiến ông thích thú và có kết quả tiếp theo. Nói một cách ngắn gọn, bề mặt Boy trang trí phòng Toán học tại Cung điện Khám phá ở Paris được tài trợ bởi Bonomi và chế tạo bởi Sauze. Nhà tài phiệt định tổ chức một triển lãm, chế tạo các vật thể bằng vàng nguyên khối. Nhưng sự việc không đi xa hơn. Bị bất ngờ bởi sự im lặng kéo dài, tôi gọi điện đến văn phòng ở Milan. Thật đáng tiếc, ông bị vướng vào bê bối P2, đã bị bắt giam, và tình yêu với tôpô học của ông đã bị tổn thương một cách không thể phục hồi.

Bề mặt phủ hai lớp của bề mặt Boy, hình ảnh của mặt phẳng xạ ảnh P², là một mặt cầu S² (xem Topologicon). Pugh đã chế tạo bề mặt phủ này bằng hai lớp lưới gà, một vật thể đáng kinh ngạc về mọi phương diện, dù tôi phải nói rằng tôi cá nhân vẫn thích dây đồng và cách biểu diễn theo kinh tuyến – vĩ tuyến hơn. Nhưng ngay cả trong toán học thuần túy:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

Trước khi trình bày bài báo, hãy kể thêm một câu chuyện nhỏ. Charles Pugh đã chế tạo bảy mẫu bằng lưới gà, nhờ đó nhận được một giải thưởng lớn, mô tả các bước tiếp theo trong quá trình lật ngược mặt cầu, mà tôi sẽ nói đến khi tìm được năm phút để đăng lên trang web, và những mẫu này từng được treo trần phòng ăn của khoa Toán học Đại học Berkeley.

Do đó, các nhà toán học khắp thế giới đã hành hương đến chiêm ngưỡng dãy hình ảnh tuyệt vời này. Nhưng một đêm, các mẫu bị trộm và không ai biết chúng đã đi đâu, dù chúng hoàn toàn không thể bán được. Ai sẽ nhận một món đồ như vậy? Ngoại trừ một tay chơi giàu có, vừa có gu thẩm mỹ vừa đam mê toán học, đã tài trợ cho việc này nhằm cất giữ chúng trong một hầm an toàn, chỉ để riêng mình được chiêm ngưỡng một trong Tám kỳ quan thế giới – dù nó được làm bằng lưới gà.

Dù thành thạo vật liệu, Pugh cũng không đủ can đảm để làm lại một loạt mẫu mới.

Như đã nói ở đầu trang web, cuộc đời của Werner Boy vẫn là một bí ẩn. Sau khi phát minh ra bề mặt mang tên ông, ông đã "biến mất" một cách kỳ lạ sau khi rời khỏi đại học. Dù đã tìm kiếm kỹ, Hilberth cũng không thể tìm thấy dấu vết ông, thậm chí còn không biết ông được chôn ở đâu.

Quay lại với toán học. Bài báo dưới đây tương đối dễ đọc. Từ công thức 1 đến 8, bất kỳ học sinh trung học nào tỉnh táo cũng có thể tạo ra những hình ảnh rất đẹp và kiểm tra xem các mặt cắt có khớp với hình 5 hay không.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 tháng 10 năm 1981) Serie 1 - 269

HÌNH HỌC – Một biểu diễn giải tích của bề mặt Boy. Bài báo của Jean-Pierre Petit và Jérôme Souriau, trình bày bởi André Lichnérowicz.

Chúng tôi giới thiệu một biểu diễn giải tích của bề mặt Boy, cho phép vẽ ra bề mặt này.

1. GIỚI THIỆU.

Bề mặt do nhà toán học Werner Boy, học trò của Hilberth, phát minh năm 1901, đã rất quen thuộc với các nhà toán học. Nó có thể đóng vai trò trung tâm trong quá trình lật ngược mặt cầu (xem [1] và [2]).

Năm 1979 (J.P.P), tôi đã chế tạo một mô hình bằng dây kim loại, làm nổi bật vị trí mà các đường kinh tuyến của bề mặt phải chiếm giữ. Một công trình thứ hai thực hiện năm 1980 cùng điêu khắc gia Max Sauze đã giúp tái tạo một mô hình thứ hai, trong đó các đường cong nằm trong các mặt phẳng và trông khá giống các đường elip. Từ mô hình như vậy, có vẻ như có thể xây dựng một biểu diễn giải tích của một bề mặt có cấu trúc tôpô giống bề mặt Boy, với các kinh tuyến là các elip đi qua một cực duy nhất.

2. CÁCH TẠO BỀ MẶT BOY BẰNG CÁC ELIP.

Đặt cực tại gốc tọa độ. Tại điểm này, bề mặt sẽ tiếp xúc với mặt phẳng (XOY). Do đó, trục OZ sẽ là trục đối xứng bậc ba (xem hình 1). Các đường kinh tuyến là các elip nằm trong các mặt phẳng Pm. Gọi OX1 là giao tuyến của mặt phẳng Pm với mặt phẳng XOY. Gọi m là góc (OX, OX1). Trong mặt phẳng Pm, đặt trục OZ1 vuông góc với OX1. Gọi a là góc (OZ, OZ1).

Hình 1 và Hình 2

Tham số đầu tiên trong biểu diễn giải tích này là góc

m

. Chúng tôi sẽ xem góc

a

như một hàm của

m

(nó sẽ được định nghĩa sau). Trong mặt phẳng Pm, chúng tôi sẽ vẽ một elip tiếp xúc tại O với OX1 (xem hình 2). Chúng tôi sẽ chọn trục của elip song song với các phân giác của X1OZ1. Gọi A(m) và B(m) là độ dài trục của elip này. Elip Em sẽ được tạo bởi tham số tự do thứ hai

q

.

Tóm lại, chúng ta sẽ thu được tọa độ X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) của điểm bất kỳ trên bề mặt.

Trong cách tiếp cận bán thực nghiệm này, các phép đo thực hiện bởi (J.S.) trên mô hình đã giúp xác định gần đúng các hàm số

a(m), A(m) và B(m). Bề mặt sau đó được vẽ bằng máy tính "Apple-II", và chúng tôi thu được các mặt cắt tại Z = hằng số. Việc xem xét các mặt cắt này cho phép xác định tính chất tôpô giống với bề mặt Boy. Điều này chỉ đạt được nhờ một quá trình thử nghiệm số học (J.S.) giúp loại bỏ các cặp kỳ dị giả (sự xuất hiện của các cặp điểm cuspidaux).

Chúng tôi đã chọn:

(1)

A(m) = 10 + 1,41 sin(6m - π/3) + 1,98 sin(3m - π/6)

(2)

B(m) = 10 + 1,41 sin(6m - π/3) - 1,98 sin(3m - π/6)

(3)

Trong hệ tọa độ X1OZ1, tọa độ tâm của elip Em là:

(4)

(5)

Trong cùng hệ tọa độ này, tọa độ điểm bất kỳ trên elip là:

(6)

(7)

và tọa độ x, y, z được cho bởi:

(8)