Tiếng Ý: Andrea Sambusetti, trường đại học Roma
Nhấp vào đây
để hiện ra bản vẽ mô hình theo tỷ lệ 1:1, có thể in ra và cắt.
Sao chép bốn bản trên giấy bìa màu khác nhau,
bạn có thể tự xây dựng mô hình,
theo các hướng dẫn lắp ráp.
Bạn chắc chắn đã thấy một vật thể kỳ lạ quay không ngừng ở phía bên trái trang chủ của trang web này. Đó là gì?
Một ngày nào đó, khi tôi có thời gian, tôi sẽ cài đặt trên trang web này một mô tả về việc lật ngược mặt cầu, như tôi đã minh họa trong số Pour la Science tháng 1 năm 1979, tức là... 22 năm trước! Việc này sẽ cần rất nhiều chi tiết và một phần giới thiệu. "Lật ngược một mặt cầu" có nghĩa là gì? Với người bình thường, mặt cầu chỉ đơn giản là tập hợp các điểm trong không gian cách một điểm O cho trước một khoảng R. Nhưng với một nhà hình học, họ vẫn gọi là "mặt cầu" ngay cả đối với một vật thể bị biến dạng, ví dụ như một củ khoai tây. Để hiểu rõ hơn về các khái niệm này, hãy mua đĩa CD của Lanturlu chứa truyện tranh "Topologicon". Tuy nhiên, nhà toán học còn đi xa hơn nữa. Một bề mặt được gọi là "trơn" khi tại mỗi điểm của nó có thể xác định được một mặt phẳng tiếp tuyến. Điều này đã cho phép ta nghĩ đến vô số biến dạng trơn có thể của mặt cầu, trong vô vàn hình dạng khác nhau của một củ khoai tây, đồng thời thay đổi tùy ý diện tích bề mặt đó. Tuy nhiên, trong vũ trụ vật lý thực tế, một người cố gắng lật ngược mặt cầu (tức là đưa bề mặt bên trong ra ngoài) sẽ gặp phải sự bất khả thi khi bề mặt tự xuyên qua chính nó. Khi giả định này được chấp nhận, tức là cấm bề mặt tự xuyên qua hoặc thậm chí chỉ "chạm" vào nhau, nhà toán học gọi đó là nhúng (embedding) của mặt cầu S2. Nhưng nhà toán học luôn được phép làm mọi thứ. Với họ, một mặt cầu là một đối tượng "ảo" chứ không phải vật chất, nơi việc xuyên qua bề mặt là hoàn toàn khả thi. Dãy hình vẽ dưới đây cho thấy một mặt cầu đang tự xuyên qua chính nó. Một biểu diễn như vậy, cho phép có các điểm tự giao nhau, được gọi là một "nhúng" (immersion).
Một nhúng do đó có một tập hợp các điểm tự giao (ở đây là một đường cong tròn đơn giản). Tuy nhiên, mặt phẳng tiếp tuyến phải thay đổi một cách liên tục. Với điều kiện đó, khi nhìn vào hình vẽ trên, ta thấy rõ ràng rằng thao tác này đã đưa một phần bề mặt bên trong (biểu diễn bằng màu xanh) ra ngoài. Để hoàn tất việc lật ngược, ta cần nén phần giống như một ống ở xích đạo này. Ở đây dường như có vấn đề: việc nén này sẽ phá vỡ tính liên tục của mặt phẳng tiếp tuyến, và do đó phép biến đổi này sẽ chứa một bước không phải là một nhúng.
Một ngày nào đó, một nhà toán học người Mỹ tên là Stephen Smale đã chứng minh rằng "mặt cầu S2 chỉ có một lớp nhúng duy nhất". Câu nói bí ẩn này có hệ quả là ta có thể chuyển từ mặt cầu "chuẩn" sang biểu diễn "đối cực" của nó (tức là mỗi điểm được hoán đổi với điểm đối cực của nó) thông qua một phép biến đổi chỉ gồm các nhúng thật sự – nói một cách đơn giản, đó là một mặt cầu đã bị lật ngược. Raoul Bott là người hướng dẫn của Smale. Dù chứng minh hình thức cho sự kiện này có vẻ chính xác, nhưng chẳng ai có vẻ khả năng thực hiện cụ thể thao tác lật ngược này. Bott vẫn tiếp tục hỏi Smale: "Anh hãy cho tôi xem anh nghĩ sẽ làm thế nào"; và Smale, người nổi tiếng thẳng thắn, đáp: "Tôi chẳng có ý tưởng nào cả". Sau này, Smale đã được trao giải thưởng Fields, tương đương với giải Nobel trong toán học. Nhắc vui một chút, bạn có thể tự hỏi tại sao lại không có giải Nobel cho toán học. Câu trả lời rất đơn giản: vợ ông đã bỏ chạy theo một nhà toán học.
Tình hình như vậy kéo dài trong nhiều năm, cho đến khi một nhà toán học người Mỹ tên là Anthony Phillips công bố năm 1967 trên Scientific American một phiên bản đầu tiên của thao tác lật ngược này, cực kỳ phức tạp. Phiên bản thứ hai được phát minh vào đầu những năm 1970 bởi nhà toán học người Pháp (mù) Bernard Morin. Tôi là người đầu tiên vẽ ra dãy các biến đổi này, mà như tôi đã thông báo, sẽ là chủ đề của một bài viết sắp tới trên trang web này, vốn đã rất phong phú. Tuy nhiên, tất cả điều này dẫn đến một nhận xét. Các bề mặt có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện. Một khối lập phương hay tứ diện có thể được coi là các biểu diễn đa diện của mặt cầu, bởi vì những vật thể này có cùng tính chất tô-pô. Về điểm này, hãy tham khảo Topologicon của tôi. Ngoài ra, ta cũng hiểu rằng nếu có thể lật ngược mặt cầu, thì cũng có thể lật ngược một khối lập phương. Phép biến đổi do Bernard Morin phát minh (mà tôi đã minh họa trong bài viết tháng 1 năm 1979 trên Pour la Science) đi qua một mô hình trung tâm. Trong dãy này tồn tại một tính đối xứng. Đó là cái tôi gọi là "mô hình trung tâm 4 tai". Tôi đang nói trước một chút. Dù sao, giống như mặt cầu có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện, thì các bước tiếp theo của phép biến đổi này cũng vậy. Điều bạn thấy quay trong trang chủ của tôi là phiên bản đa diện của mô hình trung tâm trong quá trình lật ngược mặt cầu, mà tôi đã nghĩ ra khoảng một thập kỷ trước. Lợi ích của các mô hình đa diện này nằm ở chỗ chúng có thể được xây dựng bằng các bề mặt phẳng. Chúng cũng có thể được làm bằng giấy và kéo. Hãy xem bản vẽ dưới đây (tôi xin phép ghi nhận người bạn Christophe Tardy, người đã tạo ra các mảnh có kích thước chính xác).
Lớn
Đây là bản vẽ bố trí lắp ráp, với cái nhìn tổng quan ở đây. Tuy nhiên, để in ra, bạn nên chuyển sang trang découpage. Hãy in trang đó. Sau đó, dùng bản in trên giấy thông thường từ máy in của bạn, sao chép 4 bản giống nhau, hai bản trên giấy bìa màu xanh, hai bản màu vàng. Bằng cách này, bạn sẽ có thể tự xây dựng mô hình trung tâm cho quá trình lật ngược khối lập phương.
Trên các mảnh cần cắt có các cặp chữ cái: a, b, c, d, e, f, v.v... Chỉ cần gấp giấy sao cho các chữ cái giống nhau trùng nhau, rồi dán các mặt lại bằng băng dính trong suốt. Các hình vẽ tiếp theo cho thấy cách lắp ráp một trong bốn mảnh. Trước tiên, hãy xem cách gấp một trong bốn phần tử:
Đây là hai trong bốn phần tử, được nhìn từ các góc khác nhau.
Sau đó sắp xếp chúng sao cho tạo thành một vật thể có đối xứng bậc bốn, xen kẽ các mảnh màu xanh và vàng. Để thấy rõ dạng 3D, hãy xem bản thực hiện của Tardy ở mục "thực tế ảo". Mô hình trung tâm đã được lắp ráp và còn được tạo thành dưới dạng "vrml" ở mục này. Dưới đây là hình ảnh mô hình được chụp từ nhiều góc độ khác nhau:
Không thể nói rằng một góc nhìn nào đó tương ứng với "trên" và góc kia với "dưới", bởi vì các tên gọi này hoàn toàn tùy ý. Ở hình bên trái, điểm "trung tâm" tương ứng với "điểm kép" (nơi hai bề mặt giao nhau) của mô hình trung tâm Morin, trong khi điểm trung tâm ở hình bên phải tương ứng với "điểm tứ trùng" (nơi bốn bề mặt giao nhau) của mô hình tương tự. Tôi đã phải định hướng vật thể rất cẩn thận để hình bên trái không gợi lên hình ảnh một biểu tượng swastika. Ngoài ra, về mặt kiến trúc, biểu diễn đa diện của mô hình trung tâm Morin này có thể trở thành một dự án đẹp cho một "Nhà Văn hóa Quốc gia Xã hội Chủ nghĩa".
Một nhận xét cuối cùng: chưa có một biểu diễn đa diện tốt nào cho quá trình lật ngược mặt cầu (hay nói chính xác hơn là khối lập phương). Tôi dùng từ "tốt" để chỉ một chuỗi các mô hình đủ rõ ràng, có thể mô tả dưới dạng các mảnh cắt dễ dàng, như mô hình trên. Có lẽ nên tiến hành một nghiên cứu theo hướng này, điều mà bất kỳ ai, kể cả người không phải nhà toán học – ví dụ như một điêu khắc gia – đều có thể làm được. Hơn hai mươi năm trước, tôi từng là giáo viên điêu khắc tại Ecole des Beaux-Arts ở Aix en Provence, khi đó người giám đốc là người bạn thân thiết của tôi, Jacques Boullier. Chính tại nơi đó, lần đầu tiên đã được tạo ra biểu diễn dọc của bề mặt Boy bằng các đường elip – chìa khóa để xây dựng phương trình ẩn đầu tiên do Apéry đưa ra. Tôi phải nói rằng ngay từ thời điểm đó, tôi đã ngạc nhiên trước trí tưởng tượng hình học của các sinh viên nghệ thuật, thường vượt xa cả những... nhà hình học.
Bộ đếm được cài đặt ngày 31 tháng 12 năm 2001. Số lần kết nối:
Quay lại trang Tin tức
Trang chủ
Hình ảnh
