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Courbures conjuguées.
...Comment
appréhender l'idée de courbure locale, positive ou négative,
dans un espace à trois dimensions. Prenons une sphère. Plantons
un clou quelque part. Attachons-y une ficelle de longueur Let fixons à
l'autre extrémité un crayon. Nous allons pouvoir tracer un cercle,
qui sera un parallèle. Effectuons la même opération avec
un plan et une selle de cheval.
...Sur
un plan le périmètre est 2 p
Let la surface du disque
p L2.
...Sur
la sphère le périmètre et l'aire de la calotte sont plus
petits. Sur une selle de cheval le périmètre et l'aire délimitée
par cette courbe fermée sont plus grands. Exemple : si on prend une
sphère de rayon R
et une longueur Légale
au quart du périmètre équatorial, soit p
R/2 :
...L'aire
du disque est 3,875 fois plus grande que l'aire de la calotte sphérique.
Son périmètre est 1,57 fois plus grand que l'équateur.
...En
effectuant des mesures analogues sur une surface on peut savoir si la courbure
locale est positive ou négative. Situation analogue en 3d. On prend
alors un point, une ficelle de rayon Let on trace... une sphère. Si
l'aire de cette sphère est plus petite que l'aire euclidienne 4
p L2
on en concluera que la
courbure locale est positive Si cette aire est plus petite que l'aire euclidienne
4 p L2
on en concluera que la
courbure locale est négative. Même conclusion pour le volume.
Contentons-nous de ces idées qualitatives . En trois et quatre
dimension on peut définir une longueur R, dite
courbure scalaire , qui se calcule à partir d'un tenseur de
courbure.
...Dans
le modèle cosmologique que nous présentons, on décide
de conjuguer deux feuillets d'univers tels que les valeurs des courbures scalaires
locales en des points conjugués soient inverses :
R* = - R
...C'est
la façon purement géométrique d'envisager les choses.
Il est alors aisé d'en donner une image didactique 2d, modulo les réserves
d'usage quand à la portée réelle de telles représentations.
C'est le dessin de la figure ci-après :
En haut, un posicône
émoussé. La courbure locale est nulle sur le tronc de cône
et positive dans la calotte sphérique.
En bas un "négacône
émoussé". La courbure est nulle sur le tronc de négacône
et négative dans la selle de cheval.
...On
a projeté l'objet et les géodésiques sur deux plans-espaces
de représentation euclidiens. Le premier est celui d'un observateur
physiquement situé dans le feuillet F, qui pourra ainsi voir l'objet
massif, mais pas la particule-témoins cheminant dans le feuillet F*.
...L'invisibilité
d'un objet situé dans un feuillet par un observateur situé dans
l'autre est de nature purement géométrique. On suppose que
les photons suivent des géodésiques (particulières) de
chaque feuillet. Des photons j cheminent dans le feuillet F (notre feuillet
d'univers) et des photons j*
, qu'on pourra
appeler "photons fantômes" (ghost photons) chemine dans le feuillet
F*, le "feuillet fantôme" (ghost universe). Le fait que les deux
feuillets forment un ensemble disjoint, non-connexe interdit à tout
photon d'un feuillet de passer sur l'autre.
...Le
"fonctionnement" d'un tel système géométrique est moins
compliqué qu'il n'y paraît.
...Le
feuillet Fa sa géométrie, qui est entièrement décrite
par une "métrique" g ,
à partir de laquelle on construit son système de géodésiques.
A partir de cette métrique g on
peut construire un tenseur géométrique S
et l'identifier à un tenseur T
, qui soit "source du champ", origine de cette courbure, en écrivant
l'équation d'Einstein :
S = c T
La géométrie
du second feuillet, telle que sa courbure scalaire soit inverse, correspond
à une métrique g*
, à partir de laquelle on peut construire un tenseur géométrique
S*. L'inversion
de courbure découle simplement de :
S* = - S =- c T
...Ce
qui ne signifiera absolument pas que g* = - g .
Les équations sont non-linéaires. La métrique g*
engendre elle aussi des géodésiques.
...Considérons
une géodésique du feuillet Fet faisons figurer la courbe correspondant
aux points conjugués, dans l'autre feuillet. Ca n'est pas une géodésique
de celui-ci.
Inversement :
...A
ce stade, où en sommes-nous ? *Nous avons doté l'univers (supposé
être le feuillet F, notre propre espace-temps) d'un frère jumeau.*La matière présente dans notre univers (le tenseur
T) détermine
sa géométrie, mais elle détermine également celle
du jumeau. Nous supposons que notre univers contient uniquement des masses
positives et, plus généralement, des particules possédant
des énergies positives. Nous n'envisageons pas la présence possible
de masses négative dans notre feuillet d'espace-temps. Le tenseur T
est donc soit positif,
là où il y a de l'énergie-matière, soit nul là
où règne un vide poussé. La courbure locale de Fest
donc soit nulle, soit positive, mais ne peut être négative.
...Par
contre la courbure du feuillet F* (on parlera alors de courbure induite)
est soit nulle, soit négative.
...S'il
existe des particules dans ce feuillet, nous supposons qu'elle suivent aussi
des géodésiques de celui-ci. Or que constatons-nous en regardant
la figure ci-dessus ? L'objet grisé, cette masse présente dans
notre univers, dans le feuillet F, se comporte comme un objet répulsif(voir la courbure de la trajectoire-géodésique) dans le
feuillet F*.
...Nous
avons construit une solution mathématique exacte correspondant à
ce couple de "métriques conjuguées" (g
, g*). [Voir dans
le site: papier Geometrical Physics B], . La solution g
est identique à ce que nous avons appelé les métriques
de Schwarzschild extérieure (à l'extérieur de l'astre)
et intérieure (dans l'astre lui-même). Nous proposons d'appeler
la seconde métrique "Anti-Schwarzschild". [Voir dans le site: Geometrical
Physics A, 7, le
papier 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. ]
Avec de la "matière
fantôme".
Dans cette optique de
géométries conjuguées, on peut inverser la situation
et supposer qu'une masse (positive) se trouve présente quelque part
dans le feuillet F*. Elle y crée alors une courbure positive et l'image
didactique 2d de cette géométrie correspond au cône émoussé,
à une solution de Schwarzschild, mais dans le feuillet F*.
...Même
remarque pour la façon dont les observateurs de différents feuillets
perçoivent l'effet de cette masse sur une particule-témoins
cheminant dans leur univers.
...L'examen
du schéma ci-dessus nous permet de dégager les lois d'interaction
entre la matière et la matière fantôme (ghost-matter),
localisée dans le second univers le ghost universe.
-
Deux particules de matière s'attirent
-
Deux particules de
matière-fantôme s'attirent. -
Matière et matière
fantôme se repoussent.
...On
voit que c'est différent du schéma suggéré par
Souriau, selon lequel le particules de la seconde espèce, non seulement
repoussaient celles constituant notre matière, mais se repoussaient
entre elles.
...La
seconde géométrie correspond à la présence de
masses positives m*, dans le feuillet F*. On pourra y définir une densité
de matière matière r* > 0 (ou plus précisément
de ghost energy-matter, puisque le second feuillet, le ghost universe, contient
aussi du "rayonnement fantôme", des ghost photons et des ghost neutrinos).
L'énergie des ghost particles est positive, de même que la pression
p*.
...A
partir de ces grandeurs on peut construire un tenseur d'énergie-matière
fantôme T* (le
tenseur énergie matière le plus général est un
peu plus que cela, mais cette description schématique suffit "pour
les besoins usuels").
L'équation de
champ donnant la géométrie dans le feuillet F* est :
S* = c T*
Celle
donnant la géométrie de F* est :
S = -c T*
...Ce
sont les deux équations de tout à l'heure, inversées.
Dans le feuillet Fla géométrie est induite , au sens
où elle est créée par de la matière M* située
dans F* et donc invisible depuis le feuillet F.
...On peut maintenant envisager que le deux feuillets
soient peuplés chacun par leur propre matière, de densités
r et r*.
Les métriques
conjuguées se déduisent alors du système d'équations
:
S = c (T - T*)
S* =c (T* - T)
qui donne bien les courbures
inversées :
R* = - R
Un tel univers peut donc
présenter, dans ses feuillets, une courbure quelconque, positive, négative
ou nulle.
Si la courbure est localement
positive dans le feuillet Fc'est que :
T > T*
ou :
r > r
*
elle est alors négative
dans la région adjacente , conjuguée, du feuillet F*.
Si la courbure est localement
négative dans le feuillet Fc'est que :
T < T*
ou :
r < r
*
elle est alors positive
dans la région adjacente , conjuguée, du feuillet F*.
Si la courbure est nulle
dans une région du feuillet F, elle également nulle dans le
feuillet F*, ce qui signifiera soit que :
T = T* = 0
(les deux régions sont vides)
soit que :
T = T* (
r = r
*)
Newton et anti-Newton.
La loi de Newton se déduit
de l'équation d'Einstein en supposant :
-
Que la courbure locale
est faible -
Que les vitesses sont
faibles devant la vitesse de la lumière -
Que le système
est "quasi-stationnaire" (cosmologiquement parlant).
...Elle
se déduit de la même manière du système d'équations
de champ couplées présenté plus haut. Voir :
J.P.Petit and P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 1 : The geometrical
framework. The matter era and Newtonian approximation. [voir sur le site:
Geometrical Physics A , 4 , 1998, section 4. ]
On a donc la dynamique
ci-après :
-
Deux particules de
matière m1 et m2 s'attirent selon la loi de Newton. -
Deux particules de
ghost matter, de "matière-fantôme" m*1 et m*2
s'attirent selon la loi de Newton. -
Deux particules m et
m*, appartenant à de feuillets différents se repoussent selon
"anti-Newton".
A propos des tests
de la Relativité Générale.
...Le
modèle n'est pas en contradiction avec ceux-ci. En effet, comme la
matière et la ghost matter se repoussent, là où il y
a une concentration de matière (par exemple notre galaxie), dans la
portion adjacente, conjuguée du ghost universe, règne un vide
poussé : la matière y a fait le ménage en repoussant
les masses fantômes au loin.
Dans le voisinage du
soleil le tenseur T*
(ghost matter) est donc négligeable devant T (matière)
et l'équation de champ devient :
S @
c T
c'est à dire l'équation
d'Einstein, qui se présente alors comme une forme approché d'une
équation "gémellaire".
Conclusion de cette
partie géométrie.
**...**Tout
est maintenant en place pour tenter d'exploiter une idée nouvelle,
celle d'un univers en interaction permanente avec un univers fantôme,
dont l'existence ne se révélerait à nous qu'à
travers l'action sur le champ de gravitation.
...Dans
le papier : "J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of antimatter through coadjoint
action of a group on its momentum space. 3 : Twin group. Matter anti-matter
duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem. [Voir sur
le site: Geometrical Physics B, 1-3 ], 1998.", la structure
gémellaire est approchée différemment : à travers
la théorie des groupes (groupe gémellaire). On verra en particulier
que la dualité matière antimatière existe dans les deux
feuillets. Dans le ghost universe il existe de la ghost matter et de l'anti-ghost
matter.
...Nous
connaissons l'approximation newtonienne. Nous pouvons donc faire des simulations
numériques. Nous pouvons aussi tenter de construire des solutions analytiques.
Nous devrons aussi, pour être complets, produire un modèle d'évolution
cosmologique, qu'on appelera Twin Bang , puisqu'il affecte les deux
univers. .
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