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尖点的多面体表示，计算其集中曲率。
不同曲面的多面体表示。
交叉帽上尖点的置换。
通过施泰纳罗马曲面，将“右”型的博伊曲面变换为“左”型的博伊曲面。
博伊曲面的“右”“左”反转。
让-皮埃尔·佩蒂
法国国家科学研究中心（CNRS）研究员
1988–1999年
摘要：
本文介绍了一些用于表示集中曲率点的方法：“正锥”（posicônes）、“负锥”（négacônes）及其多面体对应物：“正锥点”（posicoins）和“负锥点”（négacoins），这些工具可用于构建各种曲面的多面体表示，并恢复其总曲率。例如，施泰纳罗马曲面的多面体表示由四个立方体沿边粘合而成，使其更易于理解。在1985年贝尔出版社出版的《拓扑奇境》（Topologicon）第48–49页中，已以可拼装的切割形式给出了博伊曲面的多面体表示。第46页还展示了环面和克莱因瓶的多面体表示。本文进一步给出了交叉帽的多面体表示。在三维空间中，实射影平面的各种嵌入（博伊曲面、交叉帽、施泰纳罗马曲面）的总曲率均为 $2\pi$。通过将尖点视为集中曲率点并采用其多面体表示，可极为简便地计算出总曲率。交叉帽、施泰纳罗马曲面和博伊曲面可被视为同一对象——实射影平面的“多重面孔”。由于这一点并非一眼可见，因此我们构造了几何变换，使它们之间可以相互转化。我们从交叉帽出发，通过增加两个额外的尖点，将其转化为施泰纳罗马曲面（即实现“尖点生成-消失”这一通用变换），然后通过尖点成对合并，将施泰纳曲面进一步转化为博伊曲面。此外，利用标准球面嵌入可转化为其对径嵌入（即球面翻转）的事实，我们证明了交叉帽上的两个尖点可通过一系列浸入实现互换，从而说明这两个尖点是等价的。
引言：
读者将在本文中找到与《几何物理学A》导论部分（如正锥、负锥等定义）中相同的一般性内容。若想跳过此部分内容，可直接[点击此处](#POSICOINS ET NEGACOINS)。
若在平面上画一个由三条直线段构成的三角形，其三个顶点处角度之和为 $\pi$。这些平面上的直线可通过将任意胶带条无皱褶地粘贴在曲面上获得。我们称这些路径为平面的测地线。通过此方法，可在任意曲面上绘制测地线，例如汽车的翼或引擎盖。
图1：一个由三条平面测地线构成的三角形
正锥点与负锥点
在平面上进行一次切割，将两侧粘合，再用胶带画出一个三角形，其三条边为该锥体的测地线。
图2：正锥的构造
沿先前的切口将表面两片分开（见图3），使用量角器可轻易发现，角A、B、C之和等于 $\pi$ 加上切割角 $\alpha$。这一与欧几里得角度和的偏差，我们称之为“曲率”，并说该三角形“包含”了量值为 $\alpha$ 的角曲率。只要三角形包含锥顶，该偏差值将保持不变；若不包含，则角度和为 $\pi$。我们称锥顶M处的曲率集中，M即为“集中曲率点”。由于角度和大于欧几里得值，我们称该曲率为正。因此，从这一视角看，平面是一种零曲率曲面。
图3：展开后的正锥
该曲率具有可加性。若将多个对应角度为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 的锥体粘合，即可绘制出由测地线弧构成的各种三角形。若三角形包围三个分别对应曲率 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 的点，则其顶点角度和为：$\pi + \alpha + \beta + \gamma$。
可将正曲率曲面视为由无穷多个“正锥”拼合而成。与曲率集中于若干点不同，此时曲率均匀分布在整张曲面上。我们称球面为“常曲率曲面”（或“角曲率密度恒定”曲面）。
图4：由三条测地线弧构成的三角形
在球面上，测地线是“大圆”。赤道和经线均为大圆，是球面上的测地线弧。但你无法用胶带画出纬线，因为纬线并非球面的测地线。球面上三角形的角和取决于三角形面积与球面总面积之比。极小的三角形其角和将非常接近 $\pi$。
若三角形面积为球面面积的八分之一，则其角和为：
$$
A + B + C = 2\pi
$$
球面上的大圆可视为“三角形”，只要将三个顶点放在该圆上任意位置即可。此时角和 $A + B + C = 3\pi$，其面积占球面的一半。
最大可能的偏差是多少？我们不能说“继续扩大三角形超过大圆”，因为超过后，构成边的测地线弧长将开始缩短，甚至趋于零。
当三角形包围整个球面时，得到：
$$
A + B + C = 5\pi = \pi + 4\pi
$$
我们称球面的总曲率为 $4\pi$。
图5：角和。由球面测地线弧构成的三角形
三角形所含曲率量可通过简单的比例关系计算：
现在我们创建一个“负锥”，方法是在平面上插入一个角度为 $\alpha$ 的扇形，如图6所示。
图6：“负锥”
移除该扇形后，得到如下形状：
图7：展开后的负锥
此时三角形的角和为：$A + B + C = \pi - \alpha$
我们称该曲面为“负锥”，其具有一个负集中曲率点。该曲率同样具有可加性。将一个表面与多个小正锥和……