一个新的群的公理体系 **
--- **
...苏里奥住在阿ix老城的一套公寓里。通向街道的门非常精美。进门处停着一辆颇为奇特的交通工具：一辆古旧的轿子，属于这栋房子的女主人，一位考古学家，据我所知。轿子靠墙停放着。只需再找两名抬轿人，把两根长木杆插入环中，坐上去就能出门兜风了。轿子的开口是玻璃的：两侧的玻璃窗可以向下拉，不是通过手柄，而是通过拉动皮带，就像我童年时火车车厢里的那样。
...这一切真令人神往。我突然意识到，我从未坐过轿子。在如今失业率这么高的时代，我觉得有人完全可以靠在老阿ix开通第一条定期轿子服务来谋生。只需造一辆模仿旧式轿子的车辆，这应该不难。然后买两套刺绣礼服、两顶假发，就万事俱备了。路线就定在米拉波大道，这已经足够了。之后，只要发挥想象力，尽情梦想即可。
...让-玛丽独自和他那只叫皮乌姆的猫住在宽敞的公寓里，屋里装饰着金箔和木雕。皮乌姆非常可爱。尽管我对猫一向没什么特别好感，但这只猫却格外热情亲切。
我们通常在楼上厨房里工作。那是一间阁楼小屋，空间狭小，与楼下那些宏伟的大房间形成鲜明对比。每次让-玛丽都会试图让我喝他最喜欢的饮料：以洋蓟为原料的费尔南特-布兰卡（Fernet-Branca），我实在觉得那味道糟透了，但他却声称它具有各种神奇功效。
...当他去城里散步时，总会带着他的GPS，从不离身。确实令人着迷：看着自己被距离街道四万公里外的卫星指引方向。为了获得更好的信号，苏里奥倾向于沿着街道中心行走，眼睛紧盯着液晶屏幕。虽然有效，但显然也相当危险。
...我觉得我们俩在一起玩得很开心。一个十二月的夜晚，我去拜访他，于是有了如下对话。
-
我要跟你谈谈群。你还记得那些公理吗？
-
是的，有六个。它们是：
1 - 存在属于集合E的元素 a、b、c...
2 - 存在一个内部运算，记作 o（“圆”），用于组合集合中的两个元素。
a 属于集合E
b 属于集合E
a o b 属于集合E
3 - 该运算满足结合律：
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - 存在一个单位元 e，使得：
a o e = e o a = a
5 - 集合中每个元素 a 都存在一个逆元，记作 a⁻¹，使得：
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
这不就是五个吗？
-
最终，是五个，四个，甚至一个。公理的编号没有绝对规则。我们完全可以将公理1和2合并为一条：
-
存在属于集合E的元素 a、b、c 等，且该集合配备一个满足以下条件的内部复合运算：
a 属于集合E
b 属于集合E
a o b 属于集合E
这等价。
-
好吧，五个也好，四个也罢，无所谓。你想表达什么？
-
我将取消你所说的公理4和5（即单位元与逆元的定义），用“三明治公理”来替代。这样一来，公理体系变为：
1 - 存在属于集合E的元素 a、b、c...
2 - 存在一个内部运算，记作 o（“圆”），用于组合集合中的两个元素。
a 属于集合E
b 属于集合E
a o b 属于集合E
3 - 该运算满足结合律：
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - 对于属于集合E的任意三个元素 a、b、c，方程：
a o y o b = c
有且仅有唯一解。
这就是我所说的“三明治公理”：其中“火腿” y 被夹在元素 a 和 b 之间，而 c 是整个三明治。这个公理的含义是：
总能从三明治中取出火腿。
*
我断言，这些公理定义了群，它们与之前的公理体系等价。
-
这个唯一的解 y 属于集合E，因为运算具有内部性且满足结合律。
-
当然，这不言而喻。
-
但说出来更好。我不知道你将如何推导出关于单位元和逆元的两个公理，但我至少理解了你为何会想到这个点子。
-
我在想：“这有什么用？”
-
正是如此。拥有一个单位元究竟有什么用？照字面意思，它意味着“如果我有一个集合E，以及一个单位元，我就能把这个单位元与集合中所有元素组合，结果不变”。这对我毫无意义。同样，逆元本身又有什么用？当我们对群进行计算时，无论处理什么对象，我们总是通过左右乘以某个元素或其逆元，来制造出 a o a⁻¹ 或 a⁻¹ o a，然后替换为 e，再把 b o e 或 e o b 替换为 b。你的“三明治公理”更具实用性。
-
如果你愿意这么说。接下来我们来看由三明治公理推导出的定理。第一个是：
I - 存在一个单位元，它与自身复合后仍等于自身：
e = e o e
II - 这个单位元是唯一的。
证明：
从三明治公理出发，方程
a o y o b = c
有唯一解 y。
当 b = c = a 时，该性质依然成立，因此
a o y o a = a
也有唯一解。将等式右边乘以 y：
a o y o a o y = a o y
令 a o y = e
……这是集合中的一个元素，因为 a 和 y 都属于集合，且运算具有内部性。因此存在一个集合中的元素，使得：
e o e = e
……定理I得证。接下来证明唯一性，即定理II。假设不唯一，则存在另一个集合中的元素，记作 f，满足：
f o f = f
已知：
e o e = e
将等式右边乘以 f：
e o e o f = e o f
再将等式右边乘以 e：
e o e o f o e = e o f o e
利用结合律：
e o ( e o f ) o e = e o f o e
这两个表达式都是“三明治”。记作：
p = e o ( e o f )
q = e o f o e
根据三明治公理，我们可以“取出火腿”，即计算 ( e o f ) 和 f 的值，由于 p = q，二者相等。因此：
( e o f ) = f
……再从第二个元素 f 的假设出发：
f o f = f
将等式右边乘以 e 两次，左边乘以 e 两次：
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
利用结合律：
e o ( e o f ) o f = e o e o f
再次使用三明治公理，可得：
e o f = e
因此：
e = f
定理III：若取这个“等于自身平方”的元素 e，则有：
a o e = a
证明：
我们继续使用三明治公理。从 e 的定义出发：
e o e = e
依次右乘 a 和 e：
e o e o a o e = e o a o e
利用结合律：
e o ( e o a ) o e = e o a o e
因此：
e o a = a
再从：
e o e = e
依次左乘 a 和 e：
e o a o e o e = e o a o e
利用结合律：
e o ( a o e ) o e = e o a o e
因此：
a o e = a
定理III得证。
接下来是定理IV
（逆元的存在性，记作 a⁻¹）。
陈述：对于集合中的任意元素，存在唯一一个元素 y，满足方程：
a o y o a = a
我们将这个元素记作 a⁻¹，并称之为 a 的逆元。该元素满足以下性质：
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
证明。
该元素的存在性和唯一性是三明治公理的直接推论，当其表述为：
当面包片彼此相同且与三明治本身相同时，火腿即为面包片（或三明治）的逆元。
a o y o a = a
我们可以以两种方式运用结合律：
( a o y ) o a = a
a o ( y o a ) = a
而我们已知：
e o a = a
a o e = a
因此解 y 满足：
a o y = e
y o a = e
我们证明该解是唯一的。若不然，存在另一个解：
a o z = e
z o a = e
将第一个等式左乘 y：
y o a o z = y o e
( y o a ) o z = y
但 y o a = e，因此：
z = y
我们将这个解记作 a⁻¹，即唯一满足方程：
a o a⁻¹ o a = a
的元素。
因此，新的公理体系导出了与经典定义群相同的性质。
因此，我们可用这组新公理来定义群：
群的定义。
1 - 存在属于集合E的元素 a、b、c...
2 - 存在一个内部运算，记作 o（“圆”），用于组合集合中的两个元素。
a 属于集合E
b 属于集合E
a o b 属于集合E
3 - 该运算满足结合律：
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - 对于属于集合E的任意三个元素 a、b、c，方程：
a o y o b = c
有唯一解。
若集合E中的元素及其内部复合运算满足这四个公理，则我称其构成一个群。
定理：单位元是其自身的逆元。这种通过单一等式定义单位元的新方式，为该性质提供了另一种证明方法。
e o e = e
这是特殊元素 e 的定义。而三明治公理使这一等式与“逆元的性质”（而非定义）等同起来。
另一个定理：逆元的逆元等于原元素本身：
( a⁻¹ )⁻¹ = a
因为：
a⁻¹ o a = e
a o a⁻¹ = e
所以 a 是 a⁻¹ 的逆元，由此得出该性质。
我们证明：
( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹
我们计算：
a o b o b⁻¹ o a⁻¹ 和 b⁻¹ o a⁻¹ o a o b
证明这两个量都等于 e。
a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹
= a o e o a⁻¹
= a o a⁻¹
= e
另一个表达式同理成立。
-
这是一种对群概念的全新视角。
-
群的本体论。
-
如果你愿意这么说。
-
但我觉得这个方法可能会有深远影响。
-
现在，忘掉一切，包括三明治公理。考虑一个集合E，配备一个满足结合律的内部复合运算 o。假设该集合中存在一个元素，与所有其他元素复合时都起到单位元的作用：
a o e = e o a = a
这个元素是否唯一？
-
如果存在，它必然唯一，这可以证明。
-
哦，对，确实如此。
-
我会说，若两个元素 a 和 b 满足：
a o b = b o a = e
则称它们互为逆元。给定 a，b 即为它的逆元。我断言：如果我们将集合限制在所有具有逆元的元素所组成的子集中，这个子集就构成一个群。这是一种构造群的方法。换句话说，我们在集合中筛选出满足该性质的元素，并断言：仅凭这一点，就足以说明这个子集构成一个群。
我们需要证明这种性质是封闭的。
-
你是什么意思？
-
设有两个元素 a 和 a' 满足该性质，即：
a o b = b o a = e
a' o b' = b' o a' = e
a 有逆元 b，a' 有逆元 b'，因此它们都在所讨论的子集中。我们需要证明 a o a' 也有逆元。
去掉那些“圆”符号，它们很累赘。
a' o b' = e
左乘 a，右乘 b：
a a' b' b = a e b = a b = e
因此：
( a a' ) ( b' b ) = e
再从：
b o a = e
左乘 b'，右乘 a'：
b' b a a' = b' e a' = b' a' = e
( b' b )( a a' ) = e
因此，由两个具有逆元的元素复合而成的元素，其本身也具有逆元。
-
还需证明这个子集确实构成一个群。
-
为此，我将证明该子集满足三明治公理，即：
a y b = c
有唯一解 y。
-
我明白了。你与之前的做法正好相反。之前你从三明治公理出发，推导出逆元的存在性；现在你假设集合中所有元素都有逆元，并利用这一性质，重新构造出三明治公理。
-
证明方程有唯一解的最好方法是直接构造它。将上述方程左乘 a⁻¹，右乘 b⁻¹：
a⁻¹ a y b b⁻¹ = a⁻¹ c b⁻¹
( a⁻¹ a ) y ( b b⁻¹ ) = a⁻¹ c b⁻¹
y = a⁻¹ c b⁻¹
- 因此 y 确实是方程：
a y b = c
的解。
代入构造出的解，得：
a ( a⁻¹ c b⁻¹ ) b = c
这样做的前提是允许我们自由调整括号，即推广结合律。我们已假设（这是其中一个公理）：在操作序列中，可以任意分组：
a o b o ( c o d )
a o ( b o c ) o d
( a o b ) o c o d
( a o b ) o ( c o d )
我们需要证明：将三个元素放入一对括号内是允许的。但我们将此作为公理，不加证明。
应用：
...考虑实数集，以乘法 × 为复合运算。该运算具有内部性，但根据这组新公理，它并非群。因为定义单位元 e 的方程：
e o e = e
有两个解：
e = +1 和 e = -1
...考虑上述构造：我们给定一个集合（实数），一个结合的复合运算（乘法）。该集合有一个单位元 1，但它不是作为方程 e o e = e 的解来定义的，而是作为与集合中所有其他元素（包括自身）复合后结果不变的元素，即经典定义：
对所有属于集合E的 a，都有：
e o a = a o e = a
若从经典定义出发：
a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e
...我们已证明：具有逆元的元素子集构成一个群。因此，去掉零的实数构成一个群。
再考虑 n×n 阶方阵。它们有一个单位元：
主对角线上为“1”，其余位置为“0”。
可逆矩阵构成一个群，称为一般线性群 GL(n)。
-
我很喜欢这一切。
-
嗯……这不过是一种经典公理体系的变体。我上周在格勒诺布尔的一次认识论研讨会上介绍了这个想法。
后续待续
