将一个曲面嵌入R³中，是指其切平面保持连续且不存在自交集合的表示方式。球面和环面都可以嵌入R³。
将一个曲面浸入R³中，同样具有连续的切平面，但存在自交集合。例如：博伊曲面、克莱因瓶。
我们可以总是将一个嵌入转化为浸入。取一个球面，将两个点（例如对径点）在内部压在一起。在这个“非实体”的浸入世界中，曲面可以自相穿过。此时会形成一条“自交曲线”（此处为一个圆）。
但反过来并不总是可行。例如，射影平面无法嵌入R³，只能浸入其中。其经典的浸入形式是博伊曲面，其自交集合呈三叶螺旋状，包含一个三重点（三条曲面在此交汇）。参见图29a和29b。克莱因瓶也是如此，其最小自交为一条闭合曲线。参见《拓扑奇境》第46页。嵌入可视为浸入的一种特殊情况，即自交集合为空。那些出现尖点的表示方式并非浸入，因为这些点在切平面连续性方面是奇异的。我们将这类表示称为R³中物体的“剪切”。R³中曲面的剪切可能表现为“几乎处处”为浸入，即切平面连续，仅在有限个点处不连续。但这并非精确的定义，因为切平面的不连续性有多种引入方式。我们将在后文进一步探讨这些不连续性问题。
曲面，更广义地说，几何对象：点、直线、闭合曲线、“有边曲线”（线段或“b1球体”）、圆盘等，如同语言中的词汇。我们在《拓扑奇境》中（参见cd-Lanturlu）已充分运用了这些元素，将它们作为“词语”或“字母”，依据语法规则组成“词句”。我们称这些对象为“构造”。
有些变换是真正的几何算子。在本文中我们描述了尖点的生成与消亡操作。现详细说明如下。
一个基本对象可称为“γ-圆柱体”。
它有一条自交线，通过收缩上方管状通道，我们将创造出两个“尖点”。
开始收缩操作：
曲面的截面始终为“γ”形，但通道逐渐变窄。分析奇异点邻域始终是复杂之事。存在多种可能的图示，对应不同类型的奇点。
点G对应两个尖点的合并。英语使用者将所有奇点统称为“cusps”（尖点）。词典翻译：“cusp”意为“角”或“尖端”。但“角的尖端”是一个圆锥点。《拉鲁斯词典》中“cuspide”定义为“细长锐利的尖端”，源自拉丁语“cuspida”（尖端）。由合并产生的奇点可能呈现其他形态，例如：
横截面相同：倒置的“V”形，但并非同一对象，也非同一奇点。无论如何，我们可从一种图形转换为：
其中出现两个尖点C1和C2。横截面已改变（右侧图示中，上方为切割平面）。
这是“C”型修改。
细节：
我曾向一位朋友电话中解释什么是尖点。
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想象你骑在马上。突然，你用双腿挤压马身，使双腿（视为线段）彼此接触。马的表面发生了变化。它的右臀与左肩相连，左臀与右肩相连。
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但尖点在哪里？
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你正坐在上面。
这种曲面连接方式的改变称为“手术”。下述操作是通过挤压一个抛物柱面（即刚才的“马”）来构造一个尖点：
“压扁马”之后：
上方即为尖点。
通过沿一条线段压扁曲面并改变曲面连接方式（即一次“手术”）所得到的尖点，使我们理解了如何通过用卷发棒夹紧球面，将其转化为交叉帽（法语中也称“交叉帽球面”）。
因此，卷发棒成为将球面转化为单侧曲面的最简单工具。
以下是交叉帽的图像：
小插曲：如何“网格化”一个交叉帽？我们可以从其一个多面体表示出发：
由此可推导出尖点附近的网格结构：
这是否意味着用卷发棒一夹，双侧曲面就自动变为单侧曲面？并非如此，参见下图：
此处，我们用两根尺子夹住一个球面。这仍然是一个双侧曲面。你可以给它上色，会发现可以用两种颜色（而交叉帽则不行，因为它为单侧）：
另一视角：
此时，球面展示了其外表面的一半和内表面的一半。若你难以想象此物体，可参考其多面体表示：
当遇到此类多面体表示时，我们可能倾向于应用“可缩胞分解法”（参见cd-Lanturlu中的《拓扑奇境》），尝试计算欧拉-庞加莱特征值。球面（如一个立方体）或多面体表示的环面，均可计算其特征值，分别为2和0。在图册第47页，我们找到了“博伊立方体”的组装图，其中包含一些边的表示。顺便提一句，可用“雷诺兹方形截面型材”（轻质合金）制作，这类型材常用于搭建书架。只需将方形管材用锯子切割即可……