布伊尔曲面的解析表示

f5101 Boy曲面的解析表示
J.P. Petit 与 J. Souriau
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**...**以下是1981年发表于巴黎科学院《报告》的一篇笔记的复制件，由J.P. Petit和J. Souriau共同署名。

**...**这项工作有着一段历史。在1985年，我的《拓扑奇境》（Topologicon）一书由贝尔出版社（Éditions Belin）出版，作为安塞尔姆·兰图尔卢历险记系列的一部分之前，专业书籍中关于Boy曲面的图像极为稀少。人们只能零星看到一些用石膏或鸡笼网制成的模型照片。加州大学伯克利分校数学系的查尔斯·普ugh是公认的全球鸡笼网建模专家。正是使用这种材料，他制作了描述伯纳德·莫林（Bernard Morin）球面翻转过程的模型，并因此获得了一笔数额可观的奖金。这些模型后来由尼尔森·麦克斯（Nelson Max）数字化，最终被制作成一部影片，如今遍布世界各地的数学系。

**...**但我认为，鸡笼网这种材料终究不够高雅，尤其不适合如此高端的科学主题。在结识了一位名叫马克斯·索泽（Max Sauze）的雕塑家后，我开始学习使用铜丝——这种材料既柔韧又坚固。马克斯以娴熟的手法将铜丝焊接在一起，同时尽量避免过度加热，以免在材料中产生不必要的应力。

**...**我的朋友雅克·布利耶（Jacques Boulier），外号瓦塞林（Vasselin），当时是普罗旺斯艾克斯美术学院的教授。有一年，他邀请我代替一位出国的老师授课，我欣然应允，与索泽共同承担了半日制教学任务。我负责设计物体，而马克斯则负责焊接。我们的学生好奇地围着我们，努力模仿我们的动作。那一年，艾克斯美术学院的这栋建筑仿佛变成了一座批量生产数学曲面的工厂。

**...**如果你想尝试，其实并不复杂。你只需要一卷直径约1.5毫米、最多不超过2毫米的铜丝，以及一把剪线钳。有了这些工具，你就能描绘出任意曲面上的两组曲线。

**...**真正的难点在于如何恰当地塑造这些物体。为此，最好能滑动连接点——即“子午线”与“纬线”相交的位置。一个简单有效的办法是用缝纫线将两根金属丝绑在一起。这样既足够牢固以维持结构稳定，又足够光滑以便进行变形和调整。

**...**只有当你确信物体在数学上已完全符合你的设想时，才可交给一位技艺娴熟、能熟练使用银焊的工匠，让他在不加热金属杆的情况下完成焊接——这正是马克斯当年所掌握的精湛技艺。

**...**有一天，我带去一个Boy曲面的原型，已经发现子午线与纬线应如何排列。显然，可以让子午线看起来几乎像一组椭圆。

**...**马克斯仔细复制了这个模型。随后我前往苏里欧（Souriau）家。他儿子（那家伙可没耐心读完物理学位）正摆弄着父亲的Apple II电脑。我问他：

杰罗姆，你有没有兴趣在数学纯理论论文上署名？
嗯，为什么不行？要杀谁吗？
不用杀人。你看这个物体。拿个量角器，测量这些椭圆，试着为我们构建一个半经验性的曲面表示。
试试看吧，给我……

**...**两天后，他就完成了。这篇论文迅速被巴黎科学院《报告》接受，并以我们的名字发表：J.P. Petit 和 J. Souriau。

**...**但因为父亲名叫让-玛丽（Jean-Marie），儿子叫杰罗姆（Jérôme），所有数学家都坚信这是苏里欧父子共同完成的工作。

**...**用一个只有几行BASIC代码的小程序在电脑上绘制曲面，令许多数学家大为惊讶——他们原本以为会更复杂。这件事产生了一些不愉快的后果。数学家伯纳德·莫林当时有一位博士生，阿佩里（Apéry），他是著名数学家阿佩里父亲的儿子，后者以“整数立方和为无理数”这一令人难忘的定理而闻名。等等……

**...**我对此一无所知。我们的进展让莫林十分不安，尤其是当我天真地向他宣称，这种方法应该也能描述让他成名的四耳曲面——那正是普ugh用鸡笼网制作、再由马克斯数字化的曲面。

莫林皱起眉头：

不可能！……

**...**这事以后再说。我仍坚信相反的观点。但这句话恰好呼应了阿基米德面对罗马士兵时的经典回应——“别碰我的圆！”（Noli tangere circuleos meos!）
而这里，更像是“别碰我的椭圆！”

**...**后来，阿佩里利用我提出的发现——即Boy曲面可配备椭圆子午线系统——构建了该物体的第一个隐式方程：

f(x, y, z) = 0

**...**莫林因看到我出现在他的数学研究中而怒不可遏，逼迫阿佩里在论文中注明：是索泽发现了椭圆的构造方法。马克斯并未否认，但这是不准确的。证据就在我家地下室：我当初带去给马克斯整理的那个原型模型。

**...**总而言之，这一切显得有些可笑。这个小故事只是为了说明：数学家并不比物理学家更聪明。

**...**巴黎综合理工学院的科隆纳（Colonna）是计算机合成图像领域的先驱，他毫无保留地使用了我们的方程，却未提及来源。但有个有趣的细节：如果你在屏幕上看到Boy曲面的图像，如果是“我们这一版”，那它几乎一定会在极点附近出现三个微小的“褶皱”——这是方程调整不当所致。杰罗姆·苏里欧当时匆忙完成，若在极点附近再加一次微调，效果会更好。不过，这仍然可以由任何愿意尝试的人完成。

**...**Boy曲面的故事尚未终结。为了完整起见，还应提及一位人物：意大利亿万富翁卡洛·博诺米（Carlo Bonomi）。我是在一次百慕大三角探险中认识他的（但那是另一个故事了）。当时我们正乘着他那艘奢华得令人窒息的游艇，全速航行，寻找一本查尔斯·伯利茨（Charles Berlitz）书中提到的沉没金字塔。我们没能找到金字塔，差点被附近出没的鲨鱼吃掉。如果你有地图，那个所谓的“亚特兰蒂斯金字塔”本应位于卡伊萨尔巴尔克礁西南约50英里处，靠近古巴南部。

**...**在两次潜水和两顿鱼子酱晚餐之间，我向博诺米提议赞助大规模制作Boy曲面。他欣然同意，并付诸行动。可以说，巴黎发现宫数学厅中陈列的Boy曲面模型就是由博诺米出资、索泽制作的。这位金融家甚至考虑过用实心黄金打造这些物体并举办展览。但此事最终不了了之。我因他长时间沉默而致电米兰办公室，却得知他卷入了P2会所丑闻，已被逮捕，其对拓扑学的兴趣也彻底终结。

**...**Boy曲面的双叶覆盖（即射影平面P²的覆盖）是一个球面S²（参见《拓扑奇境》）。普ugh用两层鸡笼网构建了这一覆盖，尽管我仍更偏爱铜丝与子午线-纬线表示法，但即便在纯粹数学中：

味道与颜色，无须争辩。

**...**在展示这篇笔记之前，再讲一个趣事。普ugh曾用鸡笼网制作了七个模型，完整展现了球面翻转的各个阶段，因此获得了一笔重要奖金。这些模型曾悬挂在伯克利大学数学系食堂的天花板上。
全世界的数学家都慕名前来朝圣，惊叹于这一系列精妙绝伦的展示。但一夜之间，所有模型被盗，至今无人知晓它们的下落——毕竟，这些模型根本无法出售。哪个收赃者会接受这种交易？除非某位富有的业余爱好者，兼具艺术与数学双重品位，出资买下它们，藏在防弹地窖中，只为独享这“世界第八奇迹”的观赏权，哪怕它只是用鸡笼网做成的。

**...**尽管普ugh精通材料，却缺乏勇气重新制作一套新模型。

**...**正如我们在网站开头所说，维尔纳·博伊（Werner Boy）本人的一生至今仍是个谜。在他离开大学后，仿佛彻底消失了。尽管希尔伯特多方寻找，也未能再找到他的踪迹，甚至连他的埋葬地点都无人知晓。

**...**让我们回到数学本身。下文的笔记相对容易理解。从公式1到8，任何清醒的高中生都能构建出非常漂亮的图像，并验证截面确实与图5相符。

巴黎科学院《报告》，第293卷（1981年10月5日），第一系列，第269页
几何学——Boy曲面的解析表示。让-皮埃尔·佩蒂特与杰罗姆·苏里欧的笔记，由安德烈·利希涅罗维奇提交。

本文提出了一种Boy曲面的解析表示，可用于绘制该曲面。

1. 引言
... 1901年由数学家维尔纳·博伊（Werner Boy），希尔伯特的学生，所发明的这一曲面，早已为数学界熟知。它在球面翻转过程中扮演着关键步骤（参见[1]和[2]）。

... 1979年（J.P.P.）用金属丝制作了一个模型，凸显了曲面上子午线应处的位置。1980年，与雕塑家马克斯·索泽合作的第二项工作，重建了一个新模型，其中曲线位于平面内，且看起来非常接近椭圆。基于这一模型，似乎有可能构建出一个具有Boy曲面拓扑结构、且子午线为通过单一极点的椭圆的曲面的解析表示。

2. 如何用椭圆生成Boy曲面

... 将极点置于坐标原点。在此点，曲面与平面(XOY)相切，因此OZ轴成为三重对称轴（见图1）。子午线为位于平面Pm中的椭圆。设OX1为平面Pm在XOY平面上的投影。记m为角(OX, OX1)。在平面Pm中，设OZ1为垂直于OX1的另一轴。记a为角(OZ, OZ1)。

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图1 和图2

... 该解析表示的第一个参数是角m。我们将角a视为m的函数（将在后文定义）。在平面Pm中，我们画一条在O点与OX1相切的椭圆（见图2）。椭圆的轴将平行于X1OZ1的角平分线。记A(m)和B(m)为该椭圆的轴长。椭圆Em由第二个自由参数q生成。

... 简言之，我们将得到曲面上任意点的坐标：X(m,q), Y(m,q), Z(m,q)。

... 在这种半经验方法中，杰罗姆·苏里欧（J.S.）对模型的测量结果帮助我们近似确定了函数a(m)、A(m)和B(m)。随后，使用Apple-II电脑绘制出曲面，并得到Z = 常数的截面图像。通过分析这些截面，确认了其拓扑结构与Boy曲面一致。这一过程仅通过数值实验（J.S.）完成，成功消除了寄生奇点对（即尖点成对出现的问题）。

... 我们最终确定：

(1) A(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) + 1.98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) - 1.98 sin(3m - π/6)
(3)

... 在X1OZ1坐标系中，椭圆Em的中心坐标为：

(4)

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