布伊尔曲面的解析表示

f5101 Boy曲面的解析表示
J.P. Petit 与 J. Souriau
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**...**以下为1981年发表于巴黎科学院《报告》的一篇笔记的复制品，由J.P. Petit和J. Souriau共同署名。

**...**这项工作背后有一段故事。直到1985年，我出版了《拓扑奇境》（Belin出版社，安塞勒姆·兰图尔卢历险系列）一书之前，专业书籍中关于Boy曲面的图像极为稀少。人们只能偶尔看到一些用石膏或鸡笼铁丝制作的模型照片。加州大学伯克利分校数学系的查尔斯·普ugh是公认的全球鸡笼铁丝建模专家。正是用这种材料，他制作了描述伯纳德·莫林（Bernard Morin）球面翻转过程的模型，并因此获得了重要资金支持。这些模型后来由内尔森·麦克斯（Nelson Max）数字化，最终被制成一部在世界各地数学系广泛传播的影片。

**...**但我认为，鸡笼铁丝这种材料终究不够高雅，尤其不适合用于如此高深的科学主题。当我结识了一位名叫马克斯·索泽（Max Sauze）的雕塑家后，我开始学习使用铜丝——这种材料既柔韧又坚固，马克斯用灵巧的手法将其焊接，同时尽量避免过度加热，以免在材料内部产生不必要的应力。

**...**当时我的朋友雅克·布利耶（Jacques Boulier），别名瓦塞林（Vasselin），在普罗旺斯艾克斯美术学院任教。有一年，他邀请我代替一位出国的教授授课，我欣然应允，与索泽共同承担了半日教学任务。我负责设计模型，而马克斯则负责焊接。我们的学生好奇地围在我们身边，尽力模仿我们的动作。那一年，艾克斯美术学院的这一翼，俨然变成了一座批量生产数学曲面的“工厂”。

**...**如果你也想尝试，其实并不复杂。你只需要一卷直径约1.5毫米（最多不超过2毫米）的铜丝，以及一把剪线钳。用这些工具，你就能刻画出任意曲面上的两组曲线。

**...**真正的难点在于如何恰当地塑造这些物体。为此，最好能让“子午线”与“纬线”的交汇点可以滑动。一个简单有效的办法是用缝纫线将两根金属丝绑紧。这样既足够牢固，又能保持一定的滑动性，便于调整和变形。

**...**只有当你认为模型在数学上已完全符合你的设想时，才可交由一位熟练掌握银焊技术的人，小心地焊接，避免加热主杆——这正是马克斯当年以精湛技艺所做到的。

**...**有一天，我带来了一个Boy曲面的原型，终于发现了子午线与纬线应如何排列。显然，可以让子午线几乎完全像一组椭圆。

**...**马克斯仔细复制了这个模型。随后我前往苏里奥（Souriau）家。他儿子（一个从未耐心读完物理学位的年轻人）正摆弄着他父亲的Apple II电脑。我问他：

杰罗姆，你想不想在数学论文上署名？
嗯，为什么不行？要杀谁吗？
不用杀人。你看看这个模型。拿个量角器，测量这些椭圆，试着为我们构建一个半经验性的曲面表示。
试试看吧，给我……

**...**两天后，他就完成了。这篇论文很快被巴黎科学院《报告》接受，并以我们的名字发表：J.P. Petit 和 J. Souriau。

**...**但因为父亲名叫让-玛丽（Jean-Marie），儿子叫杰罗姆（Jérôme），所有数学家都坚信这是苏里奥父子共同完成的工作。

**...**用一个仅几行BASIC程序在计算机上绘制曲面，令许多数学家大为惊讶——他们原以为会更复杂。这件事带来了一些尴尬的后果。数学家伯纳德·莫林当时有一位博士生阿佩里（Apéry），而阿佩里正是那位以“立方和定理”闻名的父亲之子，该定理指出：所有整数的立方和是无理数。等等……

**...**我此前并不知情。我们的进展让莫林十分不安，尤其当我天真地向他断言，这种方法也应能描述他成名的四耳曲面——那正是普ugh用鸡笼铁丝制作、随后由麦克斯数字化的曲面。

莫林皱起眉头：

不可能！……

**...**此事暂且搁下。我仍坚信相反。但这句话，恰好呼应了阿基米德面对罗马士兵时那句著名的话：“别碰我的圆！”
（拉丁文：Noli tangere circuleos meos!）
而这里，更像是：“别碰我的椭圆！”

**...**后来，阿佩里利用我提出的发现——即Boy曲面可配备椭圆子午线系统——首次构建了该曲面的隐式方程：

f(x, y, z) = 0

**...**莫林对我竟在自己数学研究中冒头极为愤怒，于是强迫阿佩里在论文中注明：椭圆构想实为索泽所创。马克斯并未否认，但这是不实之词。证据就在我的地下室：我当初带去给马克斯整理的原型模型。

**...**总而言之，这实在有些荒唐。这段轶事只想说明：数学家并不比物理学家更聪明。

**...**巴黎综合理工学院的科隆纳（Colonna）是计算机合成图像领域的先驱，他几乎完全照搬了我们的方程，却未提及来源。但有个有趣的细节：如果你在屏幕上看到Boy曲面的图像，若是“我们的版本”，那它必定在极点附近有三个细微的“褶皱”——这是方程调整不完美的结果。杰罗姆·苏里奥当时赶工完成，若在极点附近再加一道微小的金属弯折，效果会更好。不过，这对任何有兴趣的人来说都依然可行。

**...**Boy曲面的故事尚未终结。为了完整起见，还应提及一位人物：意大利亿万富翁卡洛·博诺米（Carlo Bonomi）。我是在一次百慕大三角探险中结识他的（但那是另一段故事了）。当时我们正乘着他那艘奢华得令人窒息的游艇，在海上疾驰，寻找一本查尔斯·伯利茨（Charles Berlitz）书中提到的沉没金字塔。我们没找到金字塔，差一点就被附近出没的鲨鱼吞掉。如果你有地图，那个该死的“亚特兰蒂斯金字塔”本应位于卡伊萨尔巴尔克礁西南约五十英里处，靠近古巴南部。

**...**在两次潜水与一次鱼子酱晚餐之间，我向博诺米提议赞助大规模制作Boy曲面。他欣然同意，并付诸行动。可以说，如今巴黎发现宫数学厅中陈列的Boy曲面模型，正是由博诺米出资、索泽制作完成。这位金融家原本计划用实心金丝制作展览品，但此事最终不了了之。我因久等无音讯，便致电米兰办公室，却得知他卷入了P2会所丑闻，已被关押，对拓扑学的兴趣也彻底消退。

**...**Boy曲面的双叶覆盖（即射影平面P²的覆叠）是一个球面S²（参见《拓扑奇境》）。普ugh用两层鸡笼铁丝构建了这一覆盖，虽令人惊叹，但如我所言，我仍更偏爱铜丝与子午线-纬线表示法。然而，即便在纯粹数学中：

味道与色彩，无从争论。

**...**在发表这篇笔记前，再讲一个轶事。普ugh曾用鸡笼铁丝制作了七套模型，完整展现了球面翻转的各个阶段，因此获得重要奖项。这些模型曾悬挂在伯克利大学数学系食堂的天花板上。全球数学家纷纷前来朝圣，惊叹于这一系列精妙绝伦的展示。但一夜之间，所有模型被盗，至今无人知晓它们的下落——毕竟，这种东西根本无法出售。除非某位兼具艺术与数学爱好的富豪，为独享这“世界第八奇迹”（哪怕只是铁丝制成）而秘密收藏于保险库中。

**...**尽管普ugh精通材料，却终究没有勇气重新制作一套。

**...**正如我们在网站开头所说，维尔纳·博伊（Werner Boy）本人的生平至今仍是个谜。在发明了以他命名的曲面后，他便从大学消失，仿佛彻底蒸发。希尔伯特（Hilbert）多年搜寻也未果，甚至无人知晓他葬于何处。

**...**让我们回到数学本身。以下这篇笔记相对容易理解。从公式1到8出发，任何清醒的高中生都能构建出非常优美的图像，并验证截面确实与图5一致。

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 octobre 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. - Boy曲面的解析表示。J.P. Petit 与 Jérôme Souriau 撰，安德烈·利希内罗维奇（André Lichnérowicz）推荐。

本文提出一种Boy曲面的解析表示，可用于绘制该曲面。

1. 引言
... 1901年由数学家维尔纳·博伊（Werner Boy），希尔伯特的学生，所发明的曲面，早已为数学界熟知。它在球面翻转过程中扮演着核心角色（参见[1]和[2]）。

**...**1979年（J.P.P.）用金属丝制作了一个模型，揭示了该曲面上子午线的位置。1980年与雕塑家马克斯·索泽合作的第二项工作，重建了另一模型，其中曲线位于平面内，且外观接近椭圆。基于此模型，似乎可以构建一个具有Boy曲面拓扑结构、且子午线为通过单一极点的椭圆的解析表示。

2. 如何用椭圆生成Boy曲面

**...**将极点置于坐标原点。在该点，曲面与平面(XOY)相切，因此OZ轴为三重对称轴（见图1）。子午线为位于平面Pm内的椭圆。设OX₁为平面Pm在XOY平面上的投影。令m为角(OX, OX₁)。在平面Pm内，设OZ₁为垂直于OX₁的另一轴。记a为角(OZ, OZ₁)。

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图1 与图2

**...**该解析表示的第一个参数为角m。我们将角a视为m的函数（稍后定义）。在平面Pm内，我们画一条在O点与OX₁相切的椭圆（见图2）。椭圆的主轴平行于X₁OZ₁的角平分线。记A(m)与B(m)为该椭圆的半轴长度。此椭圆Em由第二个自由参数q生成。

**...**简言之，我们可得到曲面上任意点的坐标：X(m,q), Y(m,q), Z(m,q)。

**...**在这一半经验方法中，杰罗姆·苏里奥（J.S.）对模型的测量，帮助我们逼近函数a(m)、A(m)与B(m)。随后用Apple-II计算机绘制曲面，并得到Z = 常数的截面图像。通过分析这些截面，确认了其拓扑结构与Boy曲面一致。这一结果仅通过数值实验（J.S.）实现，成功消除了多余的奇点对（即尖点成对出现的问题）。

**...**我们最终采用：

(1) A(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) + 1.98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) - 1.98 sin(3m - π/6)
(3)

**...**在X₁OZ₁坐标系中，椭圆Em的中心坐标为：

(4)

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