回到这种环面在R³中浸入的同伦类。我们可以很容易地通过一种“C”变换将这两个物体连接起来。取一个环面，使其在某处“自我穿越”，从而形成一条双重点的曲线，这条曲线是一个圆：
我用了“两种颜色”：灰色表示环面外部，白色表示内部。上述的自我穿越（导致“标准环面”无数种可能浸入中的一种）使得表面出现了一部分白色区域。
从环面轴线上的一点观察这个物体：
在上方，是环面内部（白色）的部分，由于自我穿越而显现出来。然后我们可以实施一个“C变换”，创造出两个尖点：
在箭头所指的位置，我们“收紧”了一个通道。这一操作产生了两个尖点C1和C2：
我们可以将这两个尖点移动如下：
最后，只需执行一次C⁻¹变换（两个尖点合并）：
我们得到如下物体：
这种环面的浸入与标准环面同伦。
可以看出，“C”变换及其逆变换“C⁻¹”，通过将浸入的范围扩展到R³中曲面的剪切操作，能够实现一些有趣的效果。我们可以构建经典曲面（球面、实射影平面、环面、克莱因瓶）的所有剪切形式。这个集合究竟有多少个类？
我们已经看到，球面和实射影平面属于同一类（同样，右向的博伊曲面与左向的博伊曲面也属于同一类）。那么环面的剪切类有多少个呢？我认为，除非我错了，这个问题目前尚未解决。我们能否通过C操作从一个环面浸入类转移到另一个类？直觉上，我倾向于回答“不能”，但这仅仅是一种“猜想”。
一种构造无法证明不可能性，只能说明可能性的存在。如果有人找到了能够实现类间跳跃的构造，那么该定理就实际上被证明了；但正因为尚未找到此类构造，并不能构成证明。缺乏证明并不等于证明了不存在。说R³中环面有四个剪切类，或说只有一个，都只是“猜想”，仅是目前的信念而已。
有趣的是，斯梅尔（Smale）在菲利普斯（Phillips）给出首个构造之前，就已证明了球面翻转是可能的。反过来也完全可能。但又有谁会想到去尝试这种完全违背我们几何直觉的实验呢？
C变换可以将球面变为交叉帽，再通过施泰纳的罗马曲面变为博伊曲面。详见相关文章。它能否将环面变为克莱因瓶？逻辑上似乎是可能的，但我目前还没有现成的答案。
顺便问一句：为什么称为“射影平面”？所展示的物体（单侧曲面）都是有限的。苏里欧（Souriau）的回答是：
- 在平面上，存在“无穷远直线”。只需沿着这条无穷远直线将平面重新粘合即可。
而这条直线，如所料，是一条闭合曲线。
在《拓扑奇境》（Topologicon）中，有一个小动画，即“叶状图”，展示了三扭转莫比乌斯带如何转变为博伊曲面。最后一幅图显示的是该曲面去掉一个圆盘后的样子。只需补上这个圆盘，即可完成整个曲面。因此，博伊曲面本质上就是三扭转莫比乌斯带加上一个圆盘。练习题：利用《拓扑奇境》中的工具，重新计算其欧拉-庞加莱示性数（其值为1）。
反过来，我们也可以从一个圆盘出发，让它不断生长，同时自我穿越，直到最终与三扭转莫比乌斯带粘合，这是另一种构造方式。
我在1987年4月4日至5日在普罗旺斯艾克斯举行的拉康精神分析学会议上的55页报告中找到了这些图示，该报告主题为“倒错”，并被会议组织者编辑成会议记录。我将在未来的一份题为《拉康的JPP》的文档中使用这些内容。
第一幅图：圆盘正在扭曲变形。
接下来，开始形成自相交集合：
下一张图：三重点出现：
我停止使用阴影，因为曲面即将变成单侧曲面。
接下来，曲面已准备好沿着其边界自我粘合：
此时，已补上三扭转莫比乌斯带，完成了整个曲面：
下一张图：同一个莫比乌斯带。
接着，完整的博伊曲面呈现出来。与《拓扑奇境》中的图像相比，我们不能说“从下方看到它”，因为博伊曲面既无头也无尾。我们只能说，它当前呈现的样子，展示了它的三重点。
接下来，其自相交集合如下：
因此，您刚刚亲眼见证了平面如何折叠到其“无穷远直线”上。这正是它被称为“射影平面”的原因，初看颇为奇怪。也许这是人们第一次如此近距离地看到“无穷”本身。
这些图像大约二十年前就已制作完成，而如今这个网站或光盘终于提供了展示它们的机会。读者可能会问：为何这些图像没有发表在《科学美国人》或《科学》杂志上？并非我没有向这些期刊投稿，而是编辑们认为这个主题不够有趣。
我希望，借助这套“几何工具箱”，您会迫不及待地去发明大量新曲面。这里有一个由伊瓦尔斯女士构想的新曲面：取一个球面，从两个相对方向各插入一段等长的线段，直到接触，想象这两段线段被焊接在两根杆上，如下所示：
当线段接触时，发生“手术式变形”：沿线段方向出现曲面交叉，两端各形成一个锥点。以下是该曲面的截面图：
同样的曲面，从透视角度观察：
至于……