引力不稳定性与宇宙引力

Epistémotron 项目 2

引力不稳定性
或
Jeans 不稳定性

2004年5月6日

设想一个充满“尘埃”的球体，即由大量静止的质点以恒定密度分布构成。该球体半径为 R，总质量为 M。考虑一个质量为 m 的质点位于此球体表面。根据牛顿定律，经过两步计算，我们可得到弗里德曼方程——这一方程正是同名宇宙学模型的基础：

你可以找到这个二阶微分方程的三种解，对应三种宇宙模型：

• 循环型（R 以旋轮线形式变化）
• 双曲线型（R 趋向于某条渐近线）
• 爱因斯坦-德西特型（tq 型）

1934年，米尔恩（Milne）与麦克克里（Mac Crea）证明，广义相对论的基本方程可从牛顿力学中自然涌现。在上世纪七十年代，我也曾用玻尔兹曼方程与泊松方程耦合的麦克斯韦解，实现了类似结果。暂且不提。

我们重点关注爱因斯坦与德西特构建的 tm 解：

我们将此方程无量纲化，引入一个特征尺度——即初始半径的值。此时，一个特征时间便显现出来：

若爱因斯坦-德西特解描述的是从初始“爆炸”条件出发的减速膨胀，则其在时间 t 变为 -t 时具有对称性。于是我们得到两条关于 t = 0 对称的抛物线，显然 t = 0 是人为设定的。若我们“读取”左侧曲线，便得到一个引力坍缩的描述，且该坍缩过程是自我加速的。

这一现象关联着一个特征时间，即所谓的Jeans 时间。由此可见，无论尘埃团大小如何（跨度为 2R），其坍缩所需时间仅取决于密度值。

接下来我们考虑相反的过程：一个尺寸为 L 的质量云 m，内部存在热运动。我们忽略引力作用。该云将在一个特征时间 t_d 内扩散，t_d 等于 L 除以热运动的平均速度 ，而 与绝对温度 T 相关（参见前文关于气体动理论的讨论）。我们称此扩散时间为 t_d。在气体球体中，这两种效应相互对抗。我们发现：当扩散时间大于特征坍缩时间（或吸积时间）时，前提是所考虑的“团块”尺度超过某一特征长度——即Jeans 长度 Lj。

Jeans 长度与热运动速度 成正比，与密度 r 的平方根成反比。因此，结论是：“加热即稳定”。

• 是什么在加热？（例如星际气体）答案：高温恒星，发出紫外辐射。

• 是什么在冷却？辐射损失（气体辐射红外线）。

因此，星际气体就像一个水箱，处于一种自我调节状态。当气体因辐射而冷却，它变得引力不稳定，从而形成恒星；而这些恒星释放紫外光，重新加热气体，使其膨胀。这是一种“抗坍缩”机制。恒星在气体中扮演着“抗抑郁药”的角色。在螺旋星系中，这种气体被限制在一个极薄的盘状结构中，厚度仅几百光年，与星系约十万光年的直径相比微不足道。该气体层具有类似“微沟纹”盘的几何形态，厚度恒定，正是因为这种“抗坍缩”机制在各处持续调节。

你们中有些人曾试图通过模拟来再现引力不稳定性，但未成功。原因在于：气体温度过高，或质点质量不够大。结果，Jeans 长度超过了初始团块的直径。在二维情形下，当你在球面上工作时，也会出现类似现象。你们可以尝试构建二维版本的 Jeans 理论。此时，将出现一个特征长度，它与球面“表面”上的二维热运动速度成正比。密度的作用与三维情形类似，不过今晚我懒得深入解释这个无实际意义的问题——毕竟宇宙是三维的，而非二维。但定性上，现象是相似的。我们应能得出二维 Jeans 长度。若该长度大于球体大圆的周长，则不会形成团块；若其远小于周长，则会形成大量团块。一旦你们掌握了二维球面上的计算程序，便可自行实验。阿戈斯蒂尼（D'Agostini）编写了一个极棒的程序，我将在下一章节中提供。你们将同时获得可执行文件和源代码，便于修改。程序使用 Pascal 编写。

膨胀导致冷却。若为等熵膨胀，则会破坏稳定性。

可见，Jeans 长度随 R 的平方根增长。因此，任何等熵膨胀的系统终将变得不稳定并发生碎片化。若没有光子、没有宇宙辐射，宇宙在极早期就会形成团块。但事实上，物质与辐射的耦合抑制了引力不稳定性，直到宇宙电离态解除（约 t = 10 万年）才解除抑制。若取当时氢气的热运动速度略低于 3000K，以及当时的密度，可算出一个特定的 Jeans 长度。进一步计算该长度内包含的质量，可得当时的 Jeans 质量，约为 10 万倍太阳质量。因此可以合理推测，在退耦时刻，形成的是类似球状星团质量的独立团块。

最后补充一句。当我初到马赛天文台时，正逃离一个令人厌恶的“流体机械研究所”（俗称“钚机械实验室”）。该实验室位于今日马赛长途汽车站附近，紧邻圣查尔斯火车站，几年前已被拆除。其负责人早已长眠地下。1966年，正是在那里，我消除了维利霍夫（Vélikhov）的不稳定性问题，引发了一场学术风暴。某日，我坐在一个形如气体炮的脉冲 MHD 发生器前，心想：“伙计，若你不赶紧离开这里，终将变成他们那样。”于是，我几个月内啃完了《气体非均匀理论》（Chapman 和 Cowling 著，剑桥大学出版社出版）。这是一本极佳的著作，我强烈推荐大家阅读。它将引导那些希望深入理论研究者，掌握使用二阶张量、二阶矩阵进行计算的方法。在消化此书的过程中，我产生了一两个想法，并据此构建了我的博士论文——……