测地线问题
测地线问题
你知道如何用胶带在曲面上画出测地线。问题：在什么条件下，一个在圆锥面上画出的测地线会与自身相交？
取一个旋转圆锥面上的一点，并让一条测地线从该点出发，方向垂直于其一条母线：
考虑相对于圆锥旋转轴对称的另一条母线（任何圆锥都可以被变形为旋转圆锥，而不会改变其测地线的图形）。在上图的情况下，若将圆锥展开成平面，会得到如下结果：
我们知道，切口的角度代表了圆锥顶点处集中起来的角曲率。此时，测地线在平面上变为一条直线，因为该曲面是“可展曲面”。
我们看到，只有当切口角度大于180°时，即圆锥足够尖锐时，测地线才可能与自身相交。
重新将圆锥恢复原状后，得到：
圆锥的测地线能否“到达顶点”？
只有母线可以做到这一点。无论在圆锥上画出的测地线多么接近顶点，它始终只会远离顶点，即使看起来像是“朝着顶点延伸”。只需将圆锥顶点与测地线上最近的点连接起来，这条母线就会与测地线垂直相交。然后沿其对称测地线切开并展开。
无论圆锥多么尖锐，我们只能得到一系列连续的相交。
测地线能否无限次相交？当展开圆锥时，情况就像测地线在“反弹”于连接顶点与交点的母线上。
如上图所示，这种“反弹”会使母线的两部分朝不同方向延伸，之后将不再相交。要实现多次相交，需要一个非常尖锐的圆锥。
但每次“反弹”都会使角度逐渐张开，最终被限制在角度区间 2π - q 内。因此，相交次数是有限的。
圆锥的母线构成了一类非常特殊的曲线。但什么是“圆锥”呢？
我们可以认为“圆锥”是左图所示的图形。此时，测地线母线就是半直线。
但也可以认为圆锥是右图所示的物体。在这种情况下，什么是“测地线”？若定义为连接两点的最短路径，可能会出现如下情形：
我们可以选择一种锥形结构，其中每条母线在第二个半锥上延伸为另一条唯一的母线，从而形成一个连续的整体。我们可以在三维空间中构想出这样的锥点（参见《几何物理学A》第11章）。
其他类型的奇点
尖点是奇异点。我们还可以识别出其他类型。例如“锥点”，即表面发生折返的点，也称为“毛刺点”。
左侧：带有一个锥点的球面；右侧：带有一个毛刺点的球面。
通过用锥形工具压入，可以制造出一个锥点。因此，我们可将这种变化称为“锥点生成”P，其逆过程为P⁻¹。
同样，毛刺点的生成对应于变化H。实际上，毛刺点的生成是在锥点生成之后发生的——即锥点顶角变为零。因此，导致表面局部产生毛刺点的变化可表示为 P H，其逆过程为 H⁻¹P⁻¹。
还有其他方式改变曲面，例如在其中创建一个二面角。创建二面角的变化记为D。这一变化可独立实施，前提是作用于一条闭合路径（在光滑曲面上）。最简单的例子是球面：可以在其赤道处制造一个“折痕”。顺便提一句，这个折痕包含“线曲率”，这已在《几何物理学A》引言部分讨论过。
如果在光滑曲面上，该变化作用于一段线段，那么该线段的两个端点各自将经历一次P变化。
取一个“柔软”的可变形球体。我们进入球体内部，手持一根刚性直尺并将其压入球体。直尺的两端开始接触球面。产生“锥形工具”效应：出现两个锥点。继续推进，线段与球面接触，但尚未形成二面角。若线段与球面接触，仅说明球面上存在一条直线路径AB。但这并不自动意味着球面有折痕。这类似于搭建一个帐篷，使用两根杆子：先竖立杆子
两次P变化的效果：生成两个锥点A和B。
然后拉紧连接两杆的缆绳。但如果帐篷内部处于负压状态，帆布并不会在缆绳处下垂形成折痕。
缆绳被拉紧：曲面获得一条直线段AB。但如果风开始吹，帐篷内部略有正压，那么在段AB附近，切平面的连续性仍可能保持，从另一个角度看帐篷，其形状会略有变化。
当风停止时，帐篷壁因自身重量而下垂。一旦发生运动，切平面的连续性即被破坏，二面角形成。变化D出现。
这有什么用处？
在讨论实际应用之前，我们需要定义另一种变化。设想一个圆锥：其顶点集中了“角曲率”。如果该顶点不属于一个“真正”的圆锥（即侧面无曲率），那么在顶点附近，该曲面可近似为圆锥。这意味着，在曲面的任意一个锥点处，都存在一个“切向圆锥”。
但回到我们的圆锥。我们很容易让两个锥点相邻。甚至可以物理地构造出这样的曲面，只需在平面上进行两次切割：
从A和B出发的线条只是……