数学中的球面翻转

……您可能对这个奇特的物体感到好奇。这是一件十多年前的作品。在数学专区，我很快就会推出一个关于当代数学核心主题之一——球面翻转的展示。事实上，您将在本节中发现，我们可以通过保持切平面的连续性，并允许球体自我穿透，从而将一个球体从外翻到内。我曾在上世纪七十年代参与了这一探索，并首次以可读的图形方式描述了这一过程（《科学》杂志，1979年1月）。但既然球体可以翻转，那么立方体当然也可以。立方体的翻转尚未被发明，这仍是一个研究课题。也许你们中的一些人能够找到这一变换的某些关键步骤。无论如何，上述物体是这一变换的核心模型。我将提供一份切割图，让您能够自己制作并摆放在书桌上。在这个“核心模型”中，立方体被翻转了一半。假设其表面原本外侧为绿色、内侧为黄色，经过一系列曲面穿越后，立方体进入这种“四耳”形态——这是伯纳德·莫林的“开放核心模型”的多面体版本。

……因此，这个立方体显示了原本外侧的残留部分（绿色的“耳朵”），以及经过变换后显现的部分（黄色的“耳朵”，对应于物体的内侧）。字母D表示模型中的双重点，字母Q表示四重点（四层曲面在此交汇）。我们知道，存在无限多种连续变形方式，可以将我们原本的绿色立方体转变为这种具有四重对称性的物体。这些变形仅仅是将球体（外侧绿色）转变为四耳模型（两片绿色、两片黄色）的无限变形方式的多面体版本。接下来要做的，是找出最简单的中间步骤，以最少的面、顶点和棱边来实现。这无疑是一项有趣的科研工作。

……顺便说一句，这证明了立方体也可以像球体一样实现正反面翻转（立方体不过是球体的多面体版本）。事实上，只要掌握上述变换序列，只需将模型绕其对称轴旋转90度，然后反向重复该序列，最终就能得到一个……黄色的立方体。