多面体表示一个尖点，计算其集中曲率。
不同曲面的多面体表示。
交叉帽上尖点的置换。
将“右旋” Boy 曲面变换为“左旋” Boy 曲面，通过 Steiner 罗马曲面实现。
Boy 曲面的“右”与“左”反转。
让·皮埃尔·佩蒂
法国国家科学研究中心（CNRS）研究员
1988–1999
摘要：
本文介绍了一些用于表示集中曲率点的方法：“正锥”（posicônes）、“负锥”（négacônes）及其多面体对应形式：“正锥点”（posicoins）和“负锥点”（négacoins），这些工具可用于构建各种曲面的多面体表示，并重新计算其总曲率。例如，Steiner 罗马曲面的多面体表示由四个立方体沿边粘合而成，使其更易于理解。在1985年 Belin 出版社的《拓扑奇境》（Topologicon）第48至49页中，已以可拼装的切割形式给出 Boy 曲面的多面体表示；第46页还展示了环面和克莱因瓶的多面体表示。本文进一步给出了交叉帽的多面体表示。在三维空间中，实射影平面的几种嵌入（Boy 曲面、交叉帽、Steiner 罗马曲面）的总曲率均为 2π。通过将尖点视为集中曲率点，并采用其多面体表示，可以非常简便地计算出总曲率。交叉帽、Steiner 罗马曲面和 Boy 曲面可被视为同一对象——实射影平面的“多重面孔”。由于这一点并非一眼可见，因此我们构造了几何变换，以实现从一种曲面到另一种的连续过渡。我们从交叉帽出发，通过增加两个额外的尖点（即实现“尖点生成-消失”的通用变换），将其变为 Steiner 罗马曲面；然后通过成对尖点的合并，将 Steiner 曲面变换成 Boy 曲面。此外，利用标准球面嵌入可变换为其对径嵌入（即球面翻转）的事实，我们证明了交叉帽上的两个尖点可通过一系列浸入变换相互交换，从而说明这两个尖点在几何上是等价的。
前言：
读者在此可找到与《几何物理学A》（Geometrical Physics A）引言部分相同的一般性概念（如 posicone、négacône 等的定义）。若希望跳过此部分内容，可直接点击此处。
若在平面上画一个由直线段构成的三角形，则其顶点处角度之和为 π。这些平面直线可通过粘贴任意胶带条而获得，且不产生褶皱。我们称这些平面上的路径为测地线。通过此方法，可在任意曲面上绘制测地线，例如汽车的翼子板或引擎盖表面。
图1：将三角形视为平面上的三条测地线的组合。
正锥与负锥
在平面上进行一次切割，然后将两边重新粘合，再用胶带画出一个三角形，其三边为该锥面的三条测地线。
图2：正锥的构造。
沿先前的切割线将表面两瓣分开（见图3），使用量角器即可明显看出，角 A、B 和 C 的和等于
π
加上切割角度 α。这一与欧几里得角度和的偏差，我们称之为曲率，并说该三角形“包含”了大小为 α 的角曲率。若三角形包含锥顶，则无论三角形大小如何，该偏差值相同；若不包含锥顶，则角度和为 π。我们称锥顶 M 处的曲率是集中于一点的，因此 M 是一个“集中曲率点”。由于角度和大于欧几里得值，我们称这种曲率为正。因此，从这个角度看，平面是一种零曲率的曲面。
图3：正锥展开图。
这种曲率具有可加性。若将多个此类锥体（对应角度分别为 α、β、γ）粘合在一起，便可绘制出由测地线弧构成的各类三角形。若三角形包围了三个曲率分别为 α、β、γ 的点，则其顶点角度和为：
π + α + β + γ
。
我们可以将正曲率曲面视为由无穷多个“正锥”组成的球面。此时，曲率不再集中于若干点，而是均匀分布在整张曲面上。我们称球面为“常曲率曲面”（或“角曲率密度恒定”曲面）。
图4：由三条测地线弧构成的三角形。
在球面上，测地线是“大圆”。赤道和经线均为大圆，是球面上的测地线弧。但你无法用胶带画出一条纬线，因为纬线不是球面的测地线。在球面上绘制的三角形，其角度和取决于三角形面积与球面总面积之比。极小三角形的角度和将非常接近 π。
若三角形面积为球面面积的八分之一，则其角度和为：
A + B + C = 2π
。
球面上的大圆可被视为一个“三角形”，只要将三个顶点放置在该圆上任意位置即可。此时角度和为 3π，其面积占球面的一半。
最大偏差是多少？我们无法说“扩大”三角形超过大圆，因为超过之后，其边的测地线弧长反而会缩短，甚至趋近于零。
当三角形完全包围整个球面时，得到：
A + B + C = 5π = π + 4π
。
我们称球面的
总曲率
为 4π。
图5：角度和。由球面测地线弧构成的三角形。
三角形所含曲率的量可通过简单的比例关系得出：
现在我们来创建一个“负锥”，方法是在平面上插入一个角度为 α 的扇形，如图6所示。
图6：“负锥”
当移除该扇形后，得到如下形状：
图7：负锥展开图。
此时三角形的角度和为 A + B + C = π − α。
我们称这种曲面为一个具有
负集中曲率点
的负锥。这种曲率同样具有可加性。通过将多个微小正锥与微小负锥拼接，可构造出任意局部曲率的曲面。
图7所示为一个曲率处处为负的曲面。我们也可称该曲面在每一点都具有
曲率密度
（角曲率）。与欧几里得角度和的负偏差，同样取决于三角形面积。面积越小，该和越接近……