回到这个将环面嵌入R³的浸入同伦类。我们可以很容易地通过一种“C型”变换将这两个物体连接起来：取一个环面，使其在某处“自我穿越”，从而产生一条双重点的轨迹，这条轨迹是一个圆：
我用了“两种颜色”：灰色表示环面外部，白色表示内部。上述的自我穿越（导致“标准环面”无数种可能的嵌入之一）使得表面出现了一部分白色区域。
从环面轴线上的一点观察这个物体：
上方是自我穿越后显露出来的环面内部（白色）部分。我们可以实施一次“C型”变换，从而产生两个尖点。
在箭头所指的位置，我们“挤压”了一个通道。这一操作产生了两个尖点C1和C2：
我们可以将它们移动到如下位置：
接下来只需执行一次C⁻¹变换（两个尖点合并）：
我们得到如下物体：
这种环面的嵌入与标准环面是同伦的。
我们看到，“C型”变换及其逆变换C⁻¹，能够将嵌入的范畴扩展到R³中曲面的“剪切”范畴，从而实现一些有趣的操作。我们可以构建经典曲面（球面、实射影平面、环面和克莱因瓶）的所有剪切形式。这个集合包含多少个同伦类？
我们已经看到，球面和实射影平面属于同一类（如同右、左两种Boy曲面也属于同一类）。那么环面的剪切同伦类有多少个呢？我认为（除非我错了），这个问题目前尚未解决。我们是否可以通过C型操作从一个环面嵌入类转移到另一个？直觉上，我倾向于回答“不能”，但这仅仅是一个猜想。
一个构造无法证明不可能性，只能说明可能性的存在。如果有人找到了能够跨越类别的构造，那么该结论就实际上被证明了；但至今未能找到这样的构造，并不能构成证明。缺乏证明，并不等于证明了不存在。说R³中环面存在四个剪切同伦类，或仅存在一个，都只是猜想，仅是目前的信念而已。
事实上，Smale在Phillips首次给出具体构造之前，就已证明了球面翻转是可能的。反过来也完全可能。但谁能想到要进行这样一项完全违背我们几何直觉的尝试呢？
C型变换可以将球面变为交叉帽，再经过Steiner的罗马曲面，变为Boy曲面。参见相关文章。它能否将环面变为克莱因瓶？逻辑上似乎是可能的，但我目前还没有现成的答案。
顺便问一句：为何要称其为“实射影平面”？所展示的这些物体（单侧曲面）都是有限的。Souriau的解释是：
- 在平面上，存在“无穷远直线”。只需将该平面沿无穷远直线重新粘合即可。
而这条直线，正如所知，是一条闭合曲线。
在《拓扑奇境》中，有一个小动画，即“叶状图”，展示了三半扭的莫比乌斯带如何变形为Boy曲面。最后一幅图像显示的是该曲面去掉一个圆盘后的样子。只需补上这个圆盘，即可完成整个曲面。因此，Boy曲面本质上就是三半扭的莫比乌斯带加上一个圆盘。练习：利用《拓扑奇境》中的工具，重新计算其欧拉-庞加莱示性数（结果为1）。
反过来，也可以从圆盘出发，让它在自我穿越中不断生长，直到与三半扭的莫比乌斯带重新粘合，这是一种另一种构造方式。
我在1987年4月4日至5日在普罗旺斯艾克斯举行的拉康精神分析研讨会的55页报告中重新找到了这些图示，该报告主题为“倒错”，并收录于会议记录中。我将在未来的一份题为《拉康的JPP》的文件中使用这段文字。
第一幅图：圆盘正在扭曲变形。
接下来，开始形成自交集合：
下一张图：三重点的出现：
我停止使用阴影，因为曲面即将变成单侧曲面。
接下来，曲面已准备好沿着边界自我粘合：
此处，我们画出了三半扭的莫比乌斯带，完成了整个曲面：
下一张图：同一个莫比乌斯带。
然后，完整的Boy曲面形成。与《拓扑奇境》中的图像相比，我们不能说“从下方看到它”，因为Boy曲面没有上下之分。可以说，它当前的呈现方式让我们看到了它的三重点。
接下来，其自交集合：
因此，您亲眼见证了平面如何折叠到其“无穷远直线”上。这就是它被称为“实射影平面”的由来，初看颇为奇怪。这或许还是第一次人们如此近距离地“看到”无穷远。
这些图像大约二十年前制作完成，而如今这个网站或光盘终于提供了展示它们的机会。读者可能会问：为何这些图像没有发表在《科学》或《研究》杂志上？并非我没有投过稿，而是编辑们认为这个主题不够有趣。
我希望，通过这套“几何工具箱”，您会迫不及待地创造出无数新的曲面。这里有一个由Ivars女士构想的曲面：取一个球面，从两个相对方向插入等长的线段，直到接触，想象这两段线段被焊接到两根杆上，如下所示：
当线段接触时，发生“手术”：沿线段出现曲面交叉，两端各形成一个锥点。以下是该曲面的截面图：
同样的曲面，从透视角度：
在制作曲面的工具箱中，有一个“管道接头”：
当流体从一个开口（入口）进入时，它从出口的外部流出。但也可以将出口用作入口，效果相同。这个物体本质上是一种几何算子，能将外部变为内部。
如果将这个“接头”自身封闭，就得到了一个克莱因瓶：
但这里还有另一种连接方式：
同样的结构，从透视角度：
此时曲面变为双侧曲面。这是哪一个？
通过一次正则同伦——一系列连续的嵌入——我们将其变为如下形态：
您已认出这是一只带把手的盒子，但只能从内部打开。然后我们可以对这个物体进行变形。只需将一根绳子穿过孔洞，向自己拉：
结果是：
这是一个环面。
现在轮到您，来尝试处理下面这个装置：
它由三个这样的“接头”构成。
我们将在另一篇论文中讨论这些“接头”在球面翻转过程中的应用。