测地线的问题。
你知道如何在曲面上用胶带画出测地线。问题是：在什么条件下，一个圆锥体上画出的测地线会自我相交？
取一个旋转圆锥体上的一个点，并从该点出发，沿垂直于某条母线的方向画一条测地线：
考虑相对于圆锥旋转轴对称的另一条母线（任何圆锥都可以被变形为旋转圆锥，而不会改变其测地线的形状）。如上图所示，若将圆锥摊平，结果如下：
我们知道，切口的角度对应于圆锥顶点处集中起来的角曲率。此时，测地线在平面上变为一条直线，因为该曲面是可展曲面。
我们看到，只有当切口角度大于180°时，即圆锥足够尖锐时，测地线才可能自我相交。
重新组合圆锥后，得到：
圆锥的测地线能否“到达顶点”？
只有母线可以做到这一点。无论在圆锥上画出的测地线多么接近顶点，它始终会远离顶点，即使看起来像是“朝顶点延伸”。只需将圆锥顶点与测地线上最近的点连接，这条母线就会与测地线成直角相交。然后沿对侧测地线切开并摊平。
无论圆锥多么尖锐，我们只能得到一系列的相交。
测地线能否无限次相交？当展开圆锥时，测地线的表现就像“弹跳”到了连接顶点与相遇点的母线上。
如上图所示，显然“弹跳”后，母线的两段被推向不同方向，再也不会相交。要实现多次相交，需要一个非常尖锐的圆锥。
但每次“弹跳”后，角度会逐渐张开，最终被限制在区间 2π - q 内。因此，相交次数是有限的。
圆锥的母线构成了一类非常特殊的结构。但什么是“圆锥”呢？
我们可以认为“圆锥”是左图所示的图形。此时，测地线母线就是半直线。
但也可以认为圆锥是右图所示的物体。在这种情况下，什么是测地线？如果测地线是连接两点的最短路径，我们可能会遇到如下情形：
我们可以选择一种锥形结构，其中每条母线都延伸至另一侧半锥体上的唯一一条母线，从而形成一个连续整体。我们可以在三维空间中构想出这样的锥点（参见《几何物理学A》第11章）。
其他类型的奇点。
尖点是奇点。我们还可以列举出其他类型。例如“锥点”，即曲面的折回点，也称为“刺状点”。
左图：带有一个锥点的球面；右图：带有一个刺状点的球面。
我们用锥子制造一个锥点。因此可将这种改变称为“锥点生成”P，其逆操作为 P⁻¹。
同样，生成刺状点的改变记为 H。实际上，刺状点的生成是在锥点生成之后发生的，即锥点的顶角变为零。因此，导致局部刺状点的改变是 P H，其逆操作为 H⁻¹ P⁻¹。
还有其他方式改变曲面，例如制造一个二面角。制造二面角的改变记为 D。只要作用于一个闭合路径（在光滑曲面上），这种改变可以独立实现。最简单的例子是球面：可以在赤道处制造一个“折痕”，例如。顺便提一句，这个折痕包含“线曲率”，这在《几何物理学A》引言中已有讨论。
如果在光滑曲面上，这种改变作用于一个线段，那么该线段的两个端点各自都会经历一次改变 P。
取一个柔软可变形的球体。我们进入球体内部，手持一根刚性直尺，将其插入球体。直尺两端开始接触球面。产生“锥子效应”：出现两个锥点。继续推进，直尺与球面接触，但尚未形成二面角。如果直尺与球面接触，仅说明球面上存在一条直线段 AB。但这并不意味着球面一定有折痕。这类似于搭建一个帐篷，使用两根杆子：先竖立两根杆子，然后拉一根绳索连接它们。但如果帐篷内部是负压，帆布不会在绳索处下垂形成折痕。
绳索张紧：曲面获得一条直线段 AB。但如果风刮起，帐篷内部略有正压，那么在段 AB 附近，切平面的连续性仍可保持，表现为从另一个角度观察帐篷。
当风停后，帐篷壁因自身重量而下垂。一旦开始下垂，切平面的连续性就被打破，二面角出现。改变 D 发生。
这有什么用处？
在进入实际应用之前，我们需要定义另一种改变。设想一个圆锥：它有一个锥点，集中了“角曲率”。如果这个锥点不属于一个“真正”的圆锥（其侧面无曲率），那么在锥点附近，曲面可近似为圆锥。这意味着，在曲面的锥点处，存在一个“切锥”。
但回到我们的圆锥。我们很容易让两个锥点相邻。甚至可以物理地构造出这样的曲面，只需在平面上切出两个切口：
从 A 和 B 出发的线只是“缝合线”或“粘合线”。我们可以将它们移除：
我们可以让两个锥点汇聚，此时这个“双锥”会变成一个单锥，其顶点处的角曲率等于两个汇聚锥点的曲率之和。
q₁ + q₂
因此，我们可以设想一种新的改变：“锥点汇聚”：
ConfP
其逆操作为：
(ConfP)⁻¹
现在，取一个球面，向其插入八个线段。这将产生八个二面角和十六个锥点。然后我们可以将锥点两两汇聚，最终得到……一个立方体。
因此，我们现在知道如何将球面变为立方体，反之亦然。同样，这将帮助我们构建曲面的多面体表示。接下来，像刚才帐篷的帆布一样，“吹胀”我们的立方体：
棱边消失了。我们得到的结果，正是通过插入 h…