新宇宙 宇宙学 双生宇宙
1994年发表于《新物质》杂志文章的前言
……这项工作的起点可追溯至1977年。当时在巴黎科学院《报告》上发表了两篇论文：
J.P.皮特：《时间箭头相反的对映宇宙》，1977年5月8日《报告》，第285卷，第1217-1221页
J.P.皮特：《与时间镜像相互作用的宇宙》，1977年6月6日《报告》，第284卷，A系列，第1413-1416页
……在接下来的论文中，我们曾试图通过一种“对极性”关系，逐点建立地球附近区域（在宇宙尺度下）与另一个宇宙对应点（我们称之为“双生宇宙”：twin universe，或“影子宇宙”：shadow universe，或“幽灵宇宙”：ghost universe，这些名称在我们心中等价）之间的对应关系，而这一关系基于对几何对象拓扑结构的某种假设。但后来我们意识到，这种假设并非必要，因为我们可以将局部结构（F, F*）定义为一种“骨架流形”的二重覆盖。此时，该结构即为三维射影空间P3的二重覆盖，等价于二维更广为人知的射影平面P2。因此，最著名的表示形式是1902年由奥地利数学家维尔纳·博伊（Werner Boy）发现的曲面，见图184（原则上为动画，待网站完善后可实现）。
……博伊是著名数学家希尔伯特的学生，后者对其发明深感满意。有趣的是，发明之后，博伊便离开了大学，从此再无音讯。历史学家们为寻找他的踪迹所作的所有努力均告失败。我们至今不知他是否死于流感，还是最终成为一名水管工。
……几何学家们知道，可以将球面S2的所有点与射影平面P2一一对应，如本文图10所示。北极与南极重合，赤道则沿着博伊曲面的伪赤道自我缠绕，该伪赤道也已标出。这种二重覆盖在本文图11中有所显示。至少在二维情况下，这一操作将对映物体（镜像）重合。图12和图13是教学示意图，展示了团块如何填充对极区域的空缺。
……这种二重覆盖系统可推广至三维甚至四维，对应于球面S3和S4，分别覆盖射影空间P3和P4。
在深入探讨之前，我们可先让读者熟悉一下博伊这一奇特曲面的几何特性。读者亦可在《拓扑奇境》（Belin出版社，1984年版）中找到该对象的多种变体。
……显然，读者可能会惊讶于该曲面自身相交，形成一条三叶草状的自交曲线，其形态类似船的螺旋桨：
……在左侧的图示中，我们特意留出一个开口，以展示三叶交点——三条曲面在此交汇。这一曲面显得极为特殊。事实上，它是一个极佳的例子，有助于说明前文提到的“三维表示空间”概念。
……三叶交点T与自交曲线仅由P2在R3中的表示方式所造成。球面、环面均可“嵌入”R3，即以拓扑等价的方式呈现，且表面不自交。但射影平面P2无法“嵌入”R3，只能“浸入”R3。因此，上述图示（博伊曲面）是P2在R3中的“浸入”表示。二维对象的“浸入”表示在R3中表现为一条双点线（即自交曲线），沿线存在两个切平面，以及若干三叶交点，即三条曲面在此相交。博伊曲面只是P2在R3中无限多种浸入方式中的一种。其他形式将在网站即将发布的文章《射影平面的多种面孔》中展示。
……通过我们自行发明并发表的参数化表示，获取博伊曲面的图像相当容易。
——> 读者可在“数学”子网站中找到1981年发表于巴黎科学院《报告》的论文复本，合作者为J.苏里欧（非著名数学家，而是其子杰罗姆·苏里欧，后成为计算机专家），参考文献如下：
《博伊曲面的解析表示》，《巴黎科学院报告》，第293卷（1981年10月5日），第1系列，第269-272页
……文中表明，该曲面具有椭圆子午线。这一性质使其易于绘制。以下是收录于我的漫画《拓扑奇境》首页的BASIC程序代码：
BASIC程序
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU - P3)
110 E = 6.732 * SIN(3MU - P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8 * SIN(3*MU))
140 C2 = SQR (A * A + B * B) : C3 = (4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM 以下是三个坐标
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM 显示点的指令
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
……值得一提的是，正是通过发现该曲面可用椭圆子午线表示这一可能性，数学家阿佩里（Apéry）后来才得以首次获得其六次隐式方程表示：f(x, y, z) = 0
我们在此不复现该方程（其形式相当复杂），但我们坚信存在更简洁的表达形式，这将作为网站“数学”栏目中另一篇文档的主题。
……克莱因瓶对读者而言更为人熟知。同样，它也无法嵌入R3。其最经典形式表现为一种浸入，其自交集合为一条简单闭合曲线。
……克莱因瓶的二重覆盖是环面T2，与博伊曲面（P2）的二重覆盖为球面S2类似。对博伊曲面感兴趣的读者，可在巴黎发现宫的一间展厅中找到三维模型，该模型由我们委托艺术家马克斯·索兹（Max Sauze）根据我们制作的粗糙原型精心制作而成。
……在这些二重覆盖操作中，物体的子午线与纬线会“自我缠绕”。例如，我们可以展示环面的“纬线”（与嵌入方式相关）会发生什么变化：
……在该环面嵌入中，纬线显然并非曲面的测地线（仅“喉部圆”例外）。环面的子午线情况类似，它们是其标准嵌入中的测地线：
……以下为两者叠加的图像：
……我们将重新讨论所有这些内容……