双宇宙宇宙学 暗物质-物质天体物理学。 1. 几何框架。物质时代和牛顿近似。(p2)
2) 物质主导的宇宙模型。
...假设两个宇宙是各向同性和均匀的，它们的度规（在球坐标中）为：
(17)
(18)
...这两个度规分别用各自折叠的坐标系统来表示。k 和 k* 是曲率指标。
引入无量纲的固有时：
(19) s = cT s s* = - cT s
以及无量纲的尺度因子：
(20)
R = cT R
R* = cT R*
度规变为：
(21)
(22)
其中空间部分为：
(23)
dh² = du² + u² ( dq² + sin² q dj²)
同样，我们可以将场方程系统表示为无量纲形式：
(24)
(25)
即：
(26)
其中：
(27)
其中下标 r 表示辐射，下标 m 表示物质。
c（爱因斯坦常数）→ - 8 π
R → R
R* → R*
r = ro w
r* = ro w
p = po p
p* = po p
{ ro , ro , po , po } 为特征质量密度和压力。在本文中，我们研究物质时代。我们假设物质密度和压力在辐射时代结束时相等，并写为：
(27b)
ro = ro ; po = po
在物质时代，我们有：
(28)
场方程系统变为：
(29)
(30)
张量以无量纲形式书写：
(31)
其中 (w , w*) 为无量纲物质密度，(p , p*) 为无量纲物质压力，均为正值。我们得到以下四个微分方程组：
(32-a)
(33-b)
(32-c)
(32-d)
...如果我们假设在两个折叠中热速度相对于光速可以忽略不计，那么压力可以忽略（即尘埃宇宙）。在第一阶段，当退耦刚刚发生时，我们有 w = w*，系统变为：