双宇宙宇宙学 物质与幽灵物质天体物理学。
1. 几何框架。物质时代与牛顿近似。(p3)
(33-a)
(33-b)
(33-c)
(33-d)
… 从 (33-b) 和 (33-d) 可知，曲率指标 k 和 k* 必须为负数；因此，我们得到 k = k* = –1*。初始演化规律仅仅是线性的：R = R* » r*。然而，如后文所示，物质密度可能会变得不同。于是我们得到以下系统：
(34-a)
(34-b)
(34-c)
(34-d)
由此可立即得出：
(35-a)
(35-b)
引入质量守恒于两个褶皱中：
(36)
w R³ = 常数 w* R³ = 常数
系统变为：
(37-a)
(37-b)
… 注意到 R = R** 会导致 R¨ = R¨* = 0*。另一方面，如果两个宇宙是“完全耦合”的，即 R/R = 常数*，那么它们将对应于弗里德曼模型，具有“平行演化”。然而，我们认为它们是通过引力场耦合的，通过 (37-a) 和 (37-b)，这些方程表明线性膨胀是不稳定的。例如，如果 R > R**，那么 R¨ > 0 且 R¨* < 0*。该系统可以数值求解；典型解对应于图 1。
图 1：宇宙和幽灵宇宙的尺度参数演化。
存在一个“共同的历史”，通过共同的坐标系统描述：
{ t, u, q, j }
… 利用方程 (13) 到 (16)，我们可以回到系统 { t, r, q, j } 和 { t* , r* , q, j }。请注意，光速 c 和 c**，以及特征时间 T 和 T** 可能是不同的。如果 c = c** 且 T = T** = 1，那么我们得到简单的 (t = t ; t* = – t*)。
为什么我们不能简单地设定 r* = r*？
因为长度尺度 R 和 R* 被证明是不同的。考虑两组共轭点 (A, A**) 和 (B, B**). 假设 (q_A = q_B ; j_A = j_B). 这两组对应于径向标记 u_A 和 u_B. 由于它们是共轭的，A 和 A** 指的是同一个径向标记 u_A. 同样地，共轭点 B 和 B** 对应于 u_B 值。距离 AB 等于 R (u_B – u_A)，而距离 AB 等于 R* (u_B – u_A)。它们不同，因为 R* ≠ R。
图 2：共轭点 (A, B) 与 (A, B) 之间的不同距离。**
… 如果假设坐标 (t, x, y, z) 和 (t*, x*, y*, z*) 描述的是位于褶皱 F 和 F** 中的两个观察者，那么他们就像两个观众在两个不同的房间中观看同一部电影，但：
- 电视屏幕的大小不同 (R 和 R**);
- 事件的顺序相反 (t 和 t* 具有相反的符号);
- 一个屏幕上“右边”的东西在另一个屏幕上是“左边”（对映异构）。
这是萨哈罗夫最初想法的扩展 ([5], [6], [7] 和 [8])，具有不同的空间尺度。