双宇宙宇宙学 物质、幽灵物质、天体物理学。2： 共轭稳态度规。精确解。(p4)
3)共轭标量曲率。
从一般的场方程组(1)+(2)中，我们得到：
(58)
R* = - R
在两个共轭点M和M中，分别属于褶皱F和F，标量曲率R和R*是相反的。我们将满足这一性质的几何称为共轭几何。我们可以尝试通过一个教学图像来说明这一概念。请看图1：上面是一个平滑的“正锥”，下面是平滑的“负锥”，面对面放置。平滑的正锥是由一个截断的圆锥构成，沿着一个圆连接到一个球面部分（曲率密度恒定的表面）。
图1： 共轭几何的教学图像（R = -R）*。质量M位于褶皱F中。褶皱F*是空的。
显示：一对共轭点（M, M*）。
马鞍是负曲率对应的球面部分（曲率密度恒定的表面）。一个球体的总曲率等于4π。球面的一部分的角曲率q由下式给出：
(59)
一个圆锥是一个具有集中角曲率点S的表面，对应于正的角曲率q > 0。我们按照图2来构建它。
图2： 构建一个“正锥”。
圆锥顶点处包含的角曲率的定义：如果画一个由三条测地线组成的三角形，有两种情况。如果不包含顶点，角度之和是欧几里得的π。如果包含顶点，这个和是π加上相应的点曲率q。见图3。
图3： 位于（正）圆锥顶点处的正点角曲率。
同样，我们可以构建一个“负锥”，如下所示：
图4： 构建一个“负锥” 带有位于S处的负点角曲率。
我们可以组装一组对应于基本曲率dqi的小正锥，并将它们粘合在一起。见图5。
图5： 基本正锥的集合。
角曲率是一个可加的量。如果元素数量趋于无穷大，dqi趋于零，整体物体趋于一个有限的光滑表面。在该表面的任何部分，我们都可以测量角曲率（角度dqi的总和）。我们也可以如下定义局部角曲率密度：
(60)
因此，这些连接在一起的基本正锥趋于一个具有切平面的光滑表面。如果在表面上C(M)是常数且为正，那么该表面是一个球体或球面的一部分。球面表面的角曲率密度积分给出其总曲率4π。如果C(M)为零，该表面在局部是平坦的（平面、圆锥的侧面、圆柱体等）。