双宇宙天体物理学与宇宙学 幽灵物质 天体物理学.6. 螺旋结构.(p3)
- 如何为二维数值模拟设定初始条件。
构建泊松方程与福克-玻尔兹曼方程耦合的二维Eddington型解。
长期以来，三维空间中非均匀（椭圆型）的福克-玻尔兹曼方程解已被广泛研究。在下文中，我们考虑二维运动和位置分布，因此需要构建福克-玻尔兹曼方程的二维自洽椭圆型解。
写出福克-玻尔兹曼方程：
(1)
其中：
(2)
f(x, y, u, v, t) 是速度分布函数。方程(1)采用二重张量记法，以特殊速度（残差或热速度）C = (u, v) 表示。
<V> 为宏观速度，m 为粒子质量，**** 为位置矢量 (x, y)。
……
粗体字母表示矢量。方程(2)中的最后一项表示两个二重张量的标量积（参见参考文献[20]）。现在我们引入一个二维椭圆型Eddington型解：
(3)
其中 C 为残差速度，即热速度。在稳态条件下，福克-玻尔兹曼方程变为：
(4)
将上述解代入，得到：
(5)
这是一个关于热速度 C 的分量 u 和 v 的三阶多项式。一个解出现如下：
(6)
于是有：
(7)
由三阶项可得：
(8)
由二阶项得：
(9)
联立以上各式，得到如下方程组：
(10)
令：
(11)
则有：
(12)
分布函数变为：
(13)
其中 C 为热速度 C 的径向分量，Cp 为其方位角分量。由此可得：
(14)
在经典的三维Eddington解中，速度椭球的长轴指向系统中心。见图6。
图6： 对应于Eddington型解的速度椭球。
在本研究的二维Eddington型椭圆解中，我们得到一个速度椭圆，其长轴保持恒定并指向系统中心。在中心处，速度椭圆退化为圆（二维麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布）。如后文所示，其长轴 （平均径向热速度）随径向距离 v 保持不变；其横向轴（平均方位角热速度）在无穷远处趋于零。见图7。
图7： 在二维Eddington型解中，速度椭圆随距系统中心距离的变化情况。
