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序言。
……物理学
就像一个蛋糕：
(1)
- 第一层：观察、
实验。 - 第二层：微分方程。
- 第三层：几何
- 第四层：群论。
群统治几何，
几何孕育出美妙的微分方程。
借助微分方程
我们建造事物，这些事物随后被用来解释或预测我们所谓的物理
事实。
……历史上，人们开始研究并编纂
事实、观察、进行测量。然后他们想象出守恒
定律和“物理定律”。在本世纪初，他们开始认为
物理定律可能与几何有关。
同一时期，Felix
Klein 问道：
什么是
一种几何？
注意他说的是“一种几何”而不是“几何”（Erlangen 纲领）
……Klein、
Lie、Cartan 等人表明，某种东西隐藏在几何外观之下。
几何并不是最高层，不是物理学知识的极致。
从群结构出发，人们可以构建一种几何。
在下文中我们将
尝试展示群、几何和物理学之间的联系。
顺便问一下，在群之上，是什么？
……我
倾向于说：逻辑。但逻辑是一个房间，其最后一位占用者是 Kurt
Gödel，一个危险的纵火犯。凭借他那著名的定理，他放火烧了
家具，家具被彻底摧毁。自这场悲剧以来，房间
便无人居住。
……这就是为什么我在那里放了一个问号。
群。
……什么是
一个群？在下文中我们将研究限制在物理学的动态群：
一组满足既定公理的方阵 (n,n)。这些矩阵
g，群 G 的元素，通过经典的（行-列）矩阵
乘法彼此作用。在这些方阵中我们找到单位矩阵。
(1-bis)
……一个
群服从挪威数学家 Sophus Lie 定义的公理。
这些公理适用于比矩阵集合更为一般的对象。
但我们将把目光限制在这个特殊世界中并使用矩阵乘法：
x
1 - 群论第一
公理：
群 G 的两个元素
g1 和 g2 的乘积：
(2)
g3
= g1 x g2
服从：
(3)
让我们给出一个矩阵群的例子，
它依赖于单个参数 a。元素
是：
(4)
两个元素的乘积
给出：
(5)
或：
(6)
g(a)
x
g(b)
= g( g ) = g( a
- b ) = g ( g )
我们可以写出矩阵乘积：
(7)
它与 g1
和 g2 相似，即：
(8)
相反的例子：考虑以下依赖于
单个参数 a 的矩阵集合
(9)
两个元素的乘积
给出：
(10)
它与 (5) 有本质的不同。
2 - 群论第二
公理：
在元素集合中
我们必须找到一个特殊的元素，称为中性元素 e，它与
任何其他元素组合时，服从：
(11)
g x e = ex g = g
在元素为方阵的群中，这个中性元素 e 总是单位矩阵
1。
(12)
g x 1
= 1 x g = g
注意我们用细体字描述标量，用粗体字描述其他对象：方阵、行
矩阵或列矩阵。
让我们回到群的
第一个例子：
(13)
注意：
(14)
