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序言。
...物理学就像一个蛋糕：
(1)
- 第一层：观察，实验。
- 第二层：微分方程。
- 第三层：几何学 - 第四层：群论。
群支配几何学，而几何学又产生优美的微分方程。
通过微分方程，我们构建事物，这些事物随后被用来解释或预测我们称之为物理事实的内容。
...历史上，人们开始研究并记录事实、观察和进行测量。然后他们设想了守恒定律和“物理定律”。在本世纪初，他们开始认为物理定律可能与几何学有关。
在同一时期，Felix Klein 问道：什么是几何学？
请注意，他说的是“一种几何学”而不是“几何学”（埃尔兰根纲领）。
...Klein、Lie、Cartan 和其他一些人表明，在几何学的表象之下隐藏着一些东西。几何学并不是物理学知识的终极层次。从一个群结构出发，我们可以构建几何学。
在接下来的内容中，我们将尝试展示群、几何学和物理学之间的联系。
顺便提一下，关于群，有什么要说的吗？
...我倾向于说：逻辑。但逻辑是一间最后的居住者是库尔特·哥德尔的房间，一个危险的纵火犯。凭借他著名的定理，他点燃了家具，家具被彻底摧毁。自那场悲剧以来，房间空无一人。
...这就是为什么我在那里放了一个问号。
群。
...什么是群？在接下来的内容中，我们将研究物理中的动态群：一组满足定义公理的方阵（n,n）。这些矩阵 g 是群 G 的元素，它们通过经典的矩阵乘法（行-列）相互作用。在这些方阵中，我们找到了单位矩阵。
(1-bis)
...一个群服从挪威数学家 Sophus Lie 定义的公理。这些公理适用于比矩阵集更广泛的物体。但我们将目光局限于这个特殊的世界，并使用矩阵乘法：
x
1 - 群论的第一个公理：
群 G 中两个元素 g1 和 g2 的乘积：
(2)
g3 = g1 x g2
满足：
(3)
举一个矩阵群的例子，它依赖于一个单独的参数 a。该元素是：
(4)
两个元素的乘积为：
(5)
或者：
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
我们可以写出矩阵乘积：
(7)
这与 g1 和 g2 类似，即：
(8)
相反的例子：考虑以下依赖于单个参数 a 的矩阵集合
(9)
两个元素的乘积为：
(10)
这与（5）完全不同。
2 - 群论的第二个公理：
在元素集合中，我们必须找到一个特殊的元素，称为 单位元 e，它与任何其他元素结合时满足：
(11) g x **e = e **x **g **= g
在由方阵组成的群中，这个单位元 e 始终是单位矩阵 1。
(12) g x 1 = 1 x g = g 注意我们使用正体字表示标量，使用粗体字表示其他对象：方阵、行或列。
让我们回到最初的群例子：
(13)
请注意：
(14)