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3 - 群论的第三个公理：
群中的每一个元素都必须拥有其逆元，记作 g⁻¹，定义为：
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
在我们的例子中：
(16)
即：b = -a 或者：
(17) g⁻¹(a) = g(-a)
在此情况下，矩阵逆的计算是显而易见的。
给定一个方阵，其存在逆矩阵的条件是什么？
... 对任意一个方阵，都可以对应一个称为行列式的标量。关于定义，请参阅专门讨论线性代数的书籍。该行列式记作：det(g)
此外，我们有一个普遍定理：
det(g₁ × g₂) = det(g₁) × det(g₂)
一个对角矩阵的行列式为：
(18)
因此：det(1) = 1
因为 1 是一个对角矩阵。
根据矩阵逆的定义：
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
于是有：
(19)
det(g × g⁻¹) = det(g) × det(g⁻¹) = 1
...如果 det(g) = 0，则条件 (19) 无法满足。那些包含行列式为零的特定元素的矩阵集合不满足第三个公理，因此不能构成群。
此外：
(20)
4 - 群论的第四个公理：
乘法必须是结合的，即：
(21)
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
矩阵乘法本质上是满足结合律的。
群的维数：
...正如我们将看到的，一个群可以作用于一个由列向量描述点的空间。例如，时空中的点（称为“事件”）：
(22)
...这是一个四维空间。不同的群可以作用于它。但群的维数与它所作用的空间的维数毫无关系。
群（矩阵群）的维数是指定义这些方阵所需的参数个数。
我们举了一个由单一参数 a 定义的矩阵例子：
因此，这个群的维数是 1。
请注意：
(22-二)
注释：
并非所有矩阵群都是可交换的，尽管我们研究的这个群具有这一性质：
(23)
如果这样的群作用于一个对应二维空间的列向量上：
(23-二)
这相当于在平面上绕一个固定点进行旋转：
(23-三)
这一操作显然是可交换的。
你可能会说：“就像所有旋转群一样”。
...这是错误的。考虑围绕通过某一点 O 的不同轴进行的旋转。连续执行两次绕不同轴的旋转，结果是不可交换的。练习：使用正交坐标系 (OX, OY, OZ)，证明绕这些轴的组合旋转不是可交换操作。取一个任意物体。
- 先绕 OX 旋转 +90°，再绕 OZ 旋转 +90°
- 恢复初始状态后：
- 先绕 OZ 旋转 +90°，再绕 OX 旋转 +90°
比较结果。
群的作用：
...一个群 G 由方阵 g 组成。它们可以相乘。我们说，一个群可以作用于自身。
群也可以作用于由列向量描述的点构成的空间。例如：
(24)
如果我们记作：
(25)
那么群在该空间上的作用变为：
(26) g × r
...在这种特殊情况下，群对空间的作用简化为简单的矩阵乘法。但“作用”这一概念要广泛得多。