a4114
| 14 |
|---|
项目。
……我们的起点将是一个动态群 G，即一组方阵 g。
……“动态”：因为时间参与其中。
……这个群具有某个维度 n。它可以作用于一个空间 X，该空间也有其自身的维度（与群的维度无关；群的维度是指定义集合中每个矩阵 g 所需的独立参数个数，这些矩阵构成了群 G）。
……现在我们需要一个“作用”，以定义群所作用的空间——动量空间。这个空间并非粒子被假定运动其中的时空。构建这样一个空间将带我们进入一个奇异的国度，它看起来像一片分裂的精神土地。但如果你沿着这条路走下去，你将比以往任何时候都更接近真实的物理现实。
……一旦我们拥有了可以操作的空间，以及可以作用于其上的作用，我们就可以将动量-运动分类为不同种类，并将这些种类与基本粒子相对应。
……之前我们提到，群与向量的乘积（对应于 SO(2) 与 O(2)，以及 SO(3) 与 O(3)）构成一种作用：g × r
即：
(166b)
请注意，我们也可以等价地写成：
(167)
对于定向欧几里得群和完整的欧几里得群，我们需要写出一个作用：
(168)
但这些作用，以及动态群在空间上的相应作用，如：
(169)
……什么也产生不了。它们只是将物体在空间、时空或更精细的空间（五维空间、十维空间）中移动。
我们必须寻找“隐藏在群之下的东西”：其动量空间（所有矩阵群都拥有一个），以及
其在动量空间上的伴随作用。
这对应于真实的物理。
什么是物理？
……好问题。法国数学家让-玛丽·苏里奥（Jean-Marie Souriau）在20世纪70年代初发明了群在其动量空间上的伴随作用概念，并加以证明。这一观点将在后续展开。
……当然，物理学家在完成计算后，会问：
为什么？
……换句话说，它有效，但我们能否为动态群在其动量空间上的伴随作用这一概念赋予一个物理意义？答案似乎是否定的。
……想象你是一名亚里士多德的学生。突然间，你产生了一个直觉，并发明了一个新词来命名它：
惯性。
……亚里士多德来了。他听说你创造了一种新事物，便问道：
——你能向我们解释一下“惯性”是什么意思吗？
你将无法用亚里士多德的词汇来解释。这时，你已经经历了一次范式转变。
……让我们跳到中世纪。试着用“四元素”理论来解释一个化学反应。这同样不可能……
群在其动量空间上的伴随作用，正是一个范式转变。这是对物理的一种全新理解方式。
事实上，当物理学家谈论“不变性”或“守恒定律”时，他们一直在处理群的作用。
一位传统物理学家会接着问：
——你能否用尽可能简单的语言，向我解释一下群在其动量空间上的伴随作用意味着什么？
我们回答：
——你为什么在物理中使用守恒定律？
——嗯……因为存在守恒量：能量、质量、电荷……
——它们为什么守恒？
——但这是基本原理啊！
——亲爱的，把群在其动量空间上的伴随作用看作一个基本原理。
——你是什么意思？
——所有物理都基于群结构。一旦你识别出这个群，就可以构建其伴随作用和相应的动量空间。之后，动量的各个分量就成为相应的物理量。
…………
注意。如果你是物理学家（即使是理论物理学家……）并读到下面的内容，你将经历一次范式上的蜕变。从此以后，物理将仅仅是……不同了。
作用。
什么是作用？
一种与群相关联、满足以下公理的东西：
(170)
当然，对于矩阵群，复合运算为：
x
（行-列矩阵乘法）
对于矩阵群，我们可以写成：
(171)
考虑列向量：
(172)
其中 x，例如，表示向量 (173)
(174) 是否满足作用的公理？设 g 和 g' 为群 G 中的两个元素。
(175)
(175b)
我们必须有：
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
即：
(177)
根据结合律性质：
(178) g'' = g × g'
这确实是一个群的作用。
……请注意，我们将群 G 的元素 g 放在左边。如果将其放在右边会怎样？那么它必须与一个行矩阵 y 相结合。
(179) Ag(y) = y × g
这是否构成一个作用？