a4115
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我们需要：
(180)
Ag(Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag(Ag'(y)) = y × g' × g
但是：
两个矩阵的乘积通常不满足交换律。因此：
(181) Ag(y) = y × g
不是群的作用：它不满足前述公理。然而，它对应于一种“反作用”：
(182)
对于矩阵：
(183)
我们继续寻找作用与反作用。从向量 x 出发，我们可以构造其转置，并尝试：
(184)
这是否为一个作用？我们来验证一下。
g" = g × g'
(185)
(186)
这里我们使用线性代数中的一个定理：
(187) M⁻¹ × N = (N × M)⁻¹
其中 M 和 N 是任意的 (n,n) 矩阵。由此可得：
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = (g × g')⁻¹ = g"⁻¹
以及：
(189)
这确实构成一个群的作用。现在考虑：
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
证明它是一个作用。我们考虑以下三个矩阵：
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
我们需要验证：
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
计算左边：
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
即：
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
也就是：
(195) (g × g') × m × (g × g')⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
这确实是一个群的作用。我们按照索里欧（Souriau）的命名，称之为：
伴随作用：
(193)
现在我们考虑群对矩阵 m 的一个反作用：
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
证明它满足：
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
计算左边：
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
即：
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
也就是：
(198) (g × g')⁻¹ × m × (g × g')
或：
(199) g"⁻¹ × m × g"