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我们需要：
对偶作用。
我们上面已经构建了一个作用：
(200)
以及一个反作用：
(201)
第一个可以对应于任意向量列 m：
(202) m' = g × m
第二个可以对应于任意向量行 n：
(203) n' = n × g⁻¹
m 属于某个空间 M
n 属于另一个空间 N。
构造标量：
(204) S = n m 注意到：
(205) n' m' = n × g⁻¹ × g × m
……我们将称这两个所考虑的作用是对偶的。同样，m 和 n 所属的两个空间 M 和 N 也是对偶空间：N = M* 或 M = N*
通常我们说，如果 m 是一个向量，那么 n 就是它的余向量。
前缀“co”是双重性的特征。正如苏里奥所指出的，双重性存在于政治中，他还补充道：
- 双重性从一开始就在马克思主义-列宁主义中存在。想想“共产主义者”和“分子人”（munist）。
换一个视角。假设我们有一个作用，想要构造它的对偶作用。
示意如下：
(206)
……为了与列向量 m 构成标量积，n 必须是行向量。因此这两个向量必须由相同数量的标量参数定义：
(207)
然后我们寻找对偶作用：
(208)
n' = A₉(n) 使得标量积：
(209)
保持不变。必须满足：
(210)
n' m' = n m 我们有：
(211) m' = g × m
(212) A₉(n) × g × m = n × m
其解为：
(213) A₉(n) = n × g⁻¹
迈向基本作用的构建，或群在其动量空间上的余伴随作用（根据苏里奥）。
我们希望在群的“动量空间”上定义一个作用。我们将通过一个反作用的对偶来构造它：
(214) AA₉(m) = g⁻¹ × m × g
……在前一节中，m 是一个向量。但在 (214) 中，它是一个矩阵。我们将取一个依赖于若干参数的矩阵：{ m₁, m₂, ..., mₙ }
我们必须设想一组对偶的标量：{ n₁, n₂, ..., nₙ }
使得：
(215)
示意如下：
(216)