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矩阵 m 的选择
……一个群 G 可以类比于某种曲面。它依赖于一定数量的参数。设 P 为该群的参数空间，p 为该空间中的一个点。这些参数 pi 的个数即为群的维数。
(217)
已知：单位元 e（单位矩阵 1）。
我们可以给出一个增量 d p：
(218)
……接着，对群的元素矩阵 g 进行微分，得到一个方阵 dg，它不属于该群。我们称其为“群的切向量”。这些切向量构成了所谓的“李代数”（实际上并非代数）。
我们选择在单位元附近进行微分：
(219)
并选择如下反作用：
(220) AAg( m) = g⁻¹ × dg(g=e) × g
备注：
为何我们选择在 g = 1 处取群的切向量？
……我们本可以采用更一般的形式，即在群中任意点处取切向量 dg。虽然结果相同，但计算将变得复杂得多。
群的维数为 n。矩阵 g 依赖于 n 个参数 { pi }。
李代数中的元素 dg(g=e) 也依赖于同样数量的参数 { d pi }。
上述反作用的计算将给出如下映射：
(221) { d pi } ⟶ { d pp'i }
我们引入相同数量的标量：{ J i }
我们将这一组称为群的“动量” J。J = { J i }
它是一组 n 个量，n 个标量。有时我们可以将其表示为矩阵形式（如庞加莱群对其动量的作用）。
{ J i } 是群切向量的余切向量 { d p i }。由对偶性可得：
(222)
由此，若已知映射：
(223) { d p i } ⟶ { d p' i }
我们便可构造其对偶映射：
(224) { J i } ⟶ { J 'i }
这正是我们所寻求的基本作用，索里欧（Souriau）称之为群在其动量空间上的“余伴随作用”。
要最好地说明这一概念，我们给出一个例子：
庞加莱群在动量空间 Jp 上的余伴随作用。
前面我们介绍了广义洛伦兹群。若取：
(225)
则得到洛伦兹群 L，其元素 L 满足如下公理定义：
(226)
时空向量为 (227)
当 c = 1 时，得到基本二次型，即闵可夫斯基度规：
(228)
逆矩阵为 (229)
现在引入一个时空平移：
(230)
我们如下构造庞加莱群 Gp 的元素 gp：
(231)
练习：证明其构成群，并计算其逆矩阵：
(232)
李代数中的元素为 (233)
反作用为：
(234) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp
我们注意到
(235) G d L
是一个反对称矩阵。记作：
(236)
由此得：
(237)
即：
(238)
由此，我们可以构造反作用：
(239) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp
从而得到如下映射：
(240)
(240b) (240c)
即为所求映射：
(241)