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回忆庞加莱群的组成部分：
E：能量
p：动量
f：通过
l：自旋矩阵。
为了贴近索里欧的文本，我们称：
-
Ln 为完整洛伦兹群 L 的中性部分 Ln 的元素。
-
Ls 为反转空间的元素。
-
Lt 为反转时间的元素。
-
Lst 为同时反转空间和时间的元素。
C 为时空平移向量，我们得到庞加莱群的以下组成部分：
gp ( Ln , C) 为中性部分 Gpn 的元素。
gp ( Ls , C) 为 Gps 部分的元素，它反转空间。
gp ( Lt , C) 为 Gpt 部分的元素，它反转时间。
gp ( Lst , C) 为 Gpst 部分的元素，它反转两者。
共轭作用是：(313)
P 是四维矢量：
(314)
我们有四个特征矩阵：(315)
其中 l = ± 1 且 m = ± 1。
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
我们关注 C = 0 (319)
因此 l' = l 且 f' = l m f
并且：(320)
gp ( Ln , C) : I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C) : I E → E ; p → - p ; f → - f ; l → l
gp ( Lt , C) : I E → - E ; p → p ; f → - f ; l → l
gp ( Lst , C) : I E → - E ; p → - p ; f → f ; l → l
反转不会改变自旋矩阵 l。
相反，T 反转和能量反转是同义词。
E → -E（我们可以称之为“E 对称”）
自旋 s，以及自旋矢量 s 的模，只是一个数，不受所有群组成部分的作用影响，无论它们是正时序还是反时序。...一个粒子的静止能量是 mc²。正如我们所见，质量反转与时间反转同时发生。但空间反转不会改变能量或质量。
索里欧将庞加莱群的前两个连通组成部分称为：
Gpn, Gps
正时序部分（Gpn 是中性部分）。
而另外两个：Gpt, Gpst
反时序部分。这引发了负质量的问题。它们是否存在？如果存在，那么质量与能量相反的粒子之间的碰撞会怎样：
- mc² 和 - mc²
...请注意这并不对应所谓的“粒子-反粒子对的湮灭”。这些粒子的碰撞会产生辐射能量，即光子。正能粒子与负能粒子的碰撞结果应该更加令人困惑，因为它应该为零：什么也没有。
...自然是什么？粒子又是什么？在这种方法中，我们从一个给定的群开始：庞加莱群。然后我们构建该群在其动量空间上的作用。这个动量空间由点组成。每个点对应于构成与该群相关空间的几何对象之一的运动。
...在接下来的部分中，我们将证明庞加莱群无法承担所有粒子的特性。
...庞加莱群的维度是 10。
因此动量空间的维度也是 10。(321) J = { E , p , f , l }
如果我们选择与粒子相关的坐标系，f = 0。
总之，从庞加莱群自然产生的、作为几何量的唯一特征是：
对于零质量粒子：
- 它的能量 – 它的自旋和螺旋度
对于非零质量粒子：
- 它的静止质量 – 它的自旋。
其他特征：
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电荷
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重子数
-
轻子数
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μ子电荷
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τ子电荷
-
旋磁比
以及该粒子可能对应于物质或反物质世界，这些都不“包含”在庞加莱群中。我们将在以后进一步丰富这个群来处理这些内容。
目前，该群并没有“构建”粒子和反粒子。但是，如果它由它的两个子集（两个正时序部分加上两个反时序部分）组成，它就会“构建”出正能和负能粒子的两种不同种类。
...如果完整的庞加莱群“统治”宇宙，那么正能和负能可能共存，它们的相遇将产生完全的湮灭现象。如果宇宙中 50% 是正能粒子，50% 是负能粒子，那么整个宇宙可能会自我湮灭，什么也不留下：
-
没有正能粒子。
-
没有负能粒子 – 没有正能光子
-
没有负能光子。
什么也没有。什么都没有。真麻烦！
...正如索里欧所建议的，上帝以无限的智慧，只创造了正能粒子和正能光子。同样，他的天使会禁止使用庞加莱群的反时序部分，这些部分会被严格地关押在某个地方。
...我们将在以后的部分中考虑另一种可能性。