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伽利略特殊群的非平凡扩张。
巴格曼群（1960年）
以下矩阵（参见我的群论课程）
(338)
构成一个群，由巴格曼于1960年发现。同样，它作用在一个五维空间上。其维度为11，这是由于标量f的存在所致。这是一个伽利略特殊群的非平凡扩张。
(339)
若计算该群在其动量上的伴随作用，可得：
(340)
……我们看到，这种伴随作用更为精细，质量与动量的其他分量发生相互作用。我们已在上文分析过这一点，并说明了这如何赋予动量分量以物理意义。
……动量是某一特定粒子的运动。巴格曼群描述的是非相对论性运动。我们可以考虑一个静止的粒子，其能量为零、动量为零、自旋为零，仅具有非零质量：
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
我们使用巴格曼群中的如下元素：
(341)
动量的各分量变为：
(342)
……在与粒子固连的坐标系中，传递项 **f **仍保持为零。我们已证明，自旋矩阵等价于角动量。
……此处关键在于考察伽利略特殊群的平凡扩张（为何称“特殊”？这将在后文解释）。当进行这种平凡扩张时，它只是在动量中增加一个额外的标量。
现在我们来考察庞加莱群的扩张：
庞加莱群的中心扩张。 (343)
“ep”表示“扩张的庞加莱群”。Lo 是完整洛伦兹群 L 的正时子群 Lo 中的一个元素。因此，可将上述元素视为一个完整扩张庞加莱群的正时子群 Gepo，其元素为：
(344)
这两个群作用于五维空间：
(345) ( t , x , y , z , z )。
可以证明，这种扩张无法在第一行引入非零项（原本应为 0 = ( 0 0 0 )，位于1与f之间）。
……正如J.M.苏里奥所指出的，几何化量子化方法（科斯坦-基里洛夫-苏里奥方法）可以从巴格曼群导出薛定谔方程，从扩张的庞加莱群导出克莱因-戈登方程（《动力系统结构》，Dunod出版社，1972年）。此外，这种群的中心扩张在动量中增加了一个额外的标量（如同巴格曼群的平凡扩张）：
(346)
Jep = { c , M , P } = { c , Jp }
Jp 表示庞加莱群的经典动量。于是，动量的伴随作用简化为：
(347)
计算并不复杂，与前述类似。我们计算其反作用：
(348)
随后，对偶性由以下标量的恒定性表达：
(349)
……由此得到一个额外的标量 c，它仅在伴随作用下保持守恒。自此，该标量尚未获得物理意义。我们将在下文彻底澄清这一点。显然，我们可以任意次数地扩展该群：
(350)
每次都会增加一个额外的标量
(351) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P } Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }，伴随作用变为：
(352)
读者可能会问：“那为什么不直接增加57个新标量呢？”
我们只需增加六个，并将这些新标量识别为：
(353)
c₁ = q（电荷）
c₂ = cB（重子数）
c₃ = cL（轻子数）
c₄ = cm（μ子数）
c₅ = ct（τ子数）
c₆ = v（旋磁比）
该群作用于如下十维空间：
(354) ( x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆ )
即：时空加上六个额外维度。
(355)
请回忆，该群由完整洛伦兹群 L 的正时子群构建而成：
Lo = Ln（中性分支） ∪ Ls（对应空间反演）
动量变为：
(356)
Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
其中 Jp 是对应于庞加莱群 Gop（正时子群）的动量部分。
其物理意义为何？
……动量属于一个空间，该空间是一个n维流形。庞加莱群有十个维度，因此庞加莱群的动量由十项量构成。
接着，我们为群增加六个额外维度，对应于额外的相位：
(357)
f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆
动量变为：
(358) Jpe = { J₁, J₂, J₃, J₄, J₅, J₆, J₇, J₈, J₉, J₁₀, J₁₁, J₁₂, J₁₃, J₁₄, J₁₅, J₁₆ }
我们决定，在以下标量集合中
(359) Jp = { J₇, J₈, J₉, J₁₀, J₁₁, J₁₂, J₁₃, J₁₄, J₁₅, J₁₆ }
将能量 E、动量 p、传递项 f、自旋反对称矩阵 l 识别出来。
……E 和 p 可取任意值，但量子论要求在粒子固连坐标系中，自旋矢量的模 s 保持恒定，这一点在此并未得到解释，而是对应于苏里奥的工作。
我们还有六个额外的标量：
(360) J₁, J₂, J₃, J₄, J₅, J₆
……我们决定，在无穷多种可能选择中，某些离散选择对应真实粒子（及反粒子）。因此，在对应于动量空间的16维流形中，我们选取与特定粒子相对应的离散运动，其量子数为
(361) { q, cB, cL, cm, ct, v }
……目前，群的伴随作用仅保证这些量在给定运动路径上守恒。存在“被动量子数”，正如质量在伽利略特殊群的平凡扩张中作为被动量出现一样。