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3 - 群论的第三公理：
群中的任何元素都必须拥有其逆元，记作 g⁻¹，定义如下：
(15)
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
在我们的示例中：
(16)
即：b = -a 或：
(17)
g⁻¹(a) = g(-a)
此处逆矩阵的计算是平凡的。
一个给定的方阵拥有逆矩阵的条件是什么？
……对于任意方阵，我们可以关联一个称为行列式的标量。其定义请参阅任何关于线性代数的书籍。该行列式记为：det(g)
此外，我们有一个一般定理：
det(g₁ × g₂) = det(g₁) × det(g₂)
对角矩阵的行列式为：
(18)
因此：
det(1) = 1
因为 1 是一个对角矩阵。
根据矩阵逆的定义：
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
则：
(19)
det(g × g⁻¹) = det(g) × det(g⁻¹) = 1
……如果 det(g) = 0，则条件 (19) 无法满足。那些特定元素行列式为零的矩阵集合不满足第三公理，因此不能构成群。
顺便提一下：
(20)
4 - 群论的第四公理：
乘法必须是结合的，即：
(21)
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
矩阵乘法本质上是结合的。
群的维数：
……正如我们将看到的，群可以作用于一个空间，该空间的点由列向量描述。例如时空点（称为“事件”）：
(22)
……这是一个四维空间。不同的群可以作用于其上。但群的维数与其所作用空间的维数无关。
群（矩阵群）的维数是定义这些方阵的参数个数。
我们给出了一个由单个参数 a 定义的矩阵示例。
因此，该群的维数为一。
注意：
(22-bis)
注：
并非所有矩阵群都是交换群，尽管我们研究的群具有此性质：
(23)
如果这样的群作用于对应于二维空间的列向量：
(23 bis)
它对应于平面内绕固定点的旋转：
(23 ter)
此操作显然是可交换的。
你可能会说：“就像所有旋转群一样。”
……你错了。考虑绕经过给定点 O 的轴的旋转。组合两个绕不同轴的连续旋转。这不可交换。练习：证明在使用正交轴系 (OX, OY, OZ) 时，绕这些轴的组合旋转不是可交换操作。取任意物体。
- 先绕 OX 轴旋转 +90°，然后绕 OZ 轴旋转 +90°
回到初始状态，然后：
- 先绕 OZ 轴旋转 +90°，然后绕 OX 轴旋转 +90°
比较结果。
群的作用。
……群 G 由方阵 g 组成。它们可以相乘。我们将说群可以作用于自身。
群也可以作用于一个由列向量描述的点的空间。例如：
(24)
如果我们写：
(25)
那么群在此空间上的作用变为：
(26)
g × r
……在这种特殊情况下，空间上的作用等同于简单的矩阵乘法。但作用的概念要广泛得多。
