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伽利略群（时空定向完备群）。
我们可以为这个群提出不同的名称。
GGSOTO（伽利略空间定向与时间定向群）
或：
GSG（特殊伽利略群）。
或者，简称为：
SG(3,1)：特殊伽利略群。
3个空间维度，1个时间维度。请记住，我们将PT群的作用写为如下形式：
(158)
然后我们转向某个空间和时间定向群。我们可以类似地写出这样一个群的作用：
(159)
这是一个更精细群的子群：
(160)
“空间和时间定向伽利略群”。其中：
(161)
相应的作用是：
(162)
这是一个单连通（连通）群。它是完整的、具有四个分量的伽利略群的子群：
(163)
该群支配着P、T和PT对称性：
(164)
并且也引出了反时间物体的问题（正如我们将在后文中基于相对论原理所做的那样）。
运动。
四维几何对象是“动态全息图”。在四维结构中，我们可以按时间顺序进行截面切割。每个截面都是一个由 (xi, yi, zi) 点构成的三维对象。如果我们考虑一个在时空中运动的点状对象，情况会更简单。那么，所考虑的时空结构就变成了一条路径，即一种运动。
……我们决定将物理粒子等同于点的运动。它们要么是某种“质点”，要么是点性能量（光子、中微子）。
……我们可以考虑所有可能粒子的所有可能运动，并将它们包含在一个
(165)
运动空间中。
……在时空中，我们可以找到光子、质子、中子、中微子、反质子等的所有可能路径。我们考虑无限多个可能的位置、速度以及其他有待发现的参数。在这无限多的路径中，有些路径对应于特定的粒子：例如电子。其他路径对应于光子。它们是不同的。它们形成两个不同的族，即两种
不同的运动种类。
我们寻找如何对粒子进行分类。然后我们寻找如何定义运动的种类。
我们将使用一种类似于欧几里得的方法。核心问题是：
哪些“对象”属于同一种类？
……答案：那些可以通过某个子群（称为此类对象的规律性）的元素作用，从而能够相互重合的对象。
……在欧几里得世界中，你不能将球体变换为立方体，反之亦然。它们属于不同的种类。不存在一个子群能够使得球体变换为立方体，反之亦然。
……同样地，在某个待定义的群中，不存在属于某个子群的元素，能够将光子的运动变换为电子的运动。它们本质上是不同的，属于不同的种类。
如果群中存在一个元素，其作用能将一种运动变换为另一种运动，那么这些运动就属于同一种类。它们是同一种粒子的两种不同运动。
……我们不会处理多粒子系统，如原子、分子。我们将专注于自由粒子的分析，即在真空中巡航的粒子。然后，在这次巡航过程中，某些参数是守恒的（质量、能量、其他……）
但是，仅凭对粒子时空路径的简单检查，不足以识别它并将其归入定义的种类。
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质子和中子可以以相同的速度沿相同的路径巡航。
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两个粒子可以以 v = c 的速度沿相同的路径运动，但其中一个是光子，另一个是中微子。
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正如我们稍后将看到的，两个沿相同路径、以光速同向运动的光子可能是不同的。它们具有P对称性。
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一个具有右螺旋性。
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另一个具有左螺旋性。
这对应于光的偏振。它们属于不同的种类吗？这取决于我们选择的群。
种类是相对于给定的群而言的。
动量。
……运动是一种特殊的选择，是动量空间中的一个点。考虑那些仅在质量上有所不同的种类的运动。我们取两个种类。质量为 ma 的粒子不能转换为质量为 mb 的粒子。即使它们在时空中的轨迹可以相同，我们也认为它们是两种不同种类的两种不同运动，即：
两种不同的运动种类。
(166)
动量是一组参数：
J = { J1 , J2 , J3 , ........, Jn }
其中一个是能量
J1 = E 。
另外三个：
( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
构成动量矢量 p，这些都是物理学家熟悉的量。
……这些量可以作为纯几何量出现，直接与所选的群相关。你将在后面看到，构成动量的量的数量等于群的维数。
……那么，我们要玩的游戏规则是什么？
