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项目。
……我们的起点将是一个动态群 G，即一组方阵 g。
……之所以称为“动态”：因为涉及时间。
……该群具有特定的维数 n。它可以在一个空间 X 上作用，该空间也有其自身的维数（这与群的维数无关；群的维数是指定义该集合中构成群 G 的每个矩阵 g 的独立参数的个数）。
……现在我们需要一个作用，以定义群在其上作用的空间，即其动量空间。这个空间并非粒子被认为在其中运动的时空。构建这样一个空间将把我们带入一个奇异的领域，那里看起来像是一片精神分裂的土地。但如果你沿着这条路走下去，你将比以往任何时候都更接近物理现实。
……当我们拥有一个可供操作的空间和一个作用其上的作用时，我们将把动量-运动分类为不同种类，并将这些种类识别为基本粒子。
……上面我们说过，群与向量的乘积，对应于 SO(2) 和 O(2)，以及 SO(3) 和 O(3)，对应于一种作用：
g x r
即：
(166b)
请注意，我们可以用等价的方式将其写为：
(167)
对于定向欧几里得群和完整欧几里得群，我们需要写出一种作用：
(168)
但这些作用，以及动力学群在空间上的相应作用，例如：
(169)
……什么也没给出。它们只是将物体在空间、时空或更精细的空间（五维空间、十维空间）中搬运。
我们必须寻找“隐藏在群之下”的东西：其动量空间（所有矩阵群都拥有动量空间）及其
在动量空间上的余伴随作用。
这对应于真实的物理学。
什么是物理学？
……好问题。法国数学家让-马里·苏里奥（Jean-Marie Souriau）发明了群在其动量空间上的余伴随作用这一概念，并在七十年代初证明了这一点。下文将对此进行阐述。
……当然，物理学家在计算结束时，会问：
为什么？
……换句话说，它有效，但我们能否给动力学群在其动量空间上的余伴随作用这一概念赋予物理意义？答案似乎是否定的。
……想象你是亚里士多德的学生。突然，你产生了一种直觉，并发明了一个新词来命名它：
惯性。
……亚里士多德来了。其他学生已经警告他你发明了某种新东西，他问道：
- 你能向我们解释一下惯性的含义吗？
你将无法用亚里士多德的词汇做到这一点。你将遭遇一次范式转变。
跳到中世纪。试着用四元素的词汇来解释化学反应。同样不可能……
群在其动量空间上的余伴随作用是一次范式转变。这是对物理学的一种新洞察。
事实上，当物理学家谈论“不变性”、“守恒定律”时，他们一直在处理群作用。
这样的传统物理学家会问：
- 你能用简单的语言向我解释一下群在其动量空间上的余伴随作用的含义吗？
我们回答：
-
你为什么在物理学中使用守恒定律？
-
啊……因为存在守恒量：能量、质量、电荷……
-
为什么它们会守恒？
-
但这是一个基本原理！……
-
我亲爱的朋友，请将群在其动量空间上的余伴随作用视为一个基本原理。
-
你是什么意思？
-
任何物理学都基于群结构。如果你确定了群，就可以构建其余伴随作用及相应的动量空间。然后，动量的分量就是相应的物理量。
-
…………
警告。如果你是一名物理学家（即使是理论物理学家……），并且你阅读以下内容，你将经历一次范式突变。此后，物理学将变得……截然不同。
作用。
什么是作用？
与群相关并遵循以下公理的东西：
(170)
当然，对于矩阵群，复合运算是：
x
（行-列矩阵乘法）
对于矩阵群，我们可以写为：
(171)
考虑列向量：
(172)
其中，例如，x 代表向量
(173)
(174)
是否符合作用的公理？设 g 和 g' 是群 G 的两个元素。
(175)
(175b)
我们必须有：
(176)
Ag ( Ag'(x) ) = Ag"(x)
即：
(177)
根据结合律性质：
(178)
g" = g x g'
是一个群作用。
……请注意，我们将群 G 的元素 g 放在左边。如果我们把它放在右边会发生什么？那么它必须与行矩阵 y 结合。
(179)
Ag(y) = y x g
这是一个作用吗？
