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我们需要：
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
但：
两个矩阵的乘积
一般不可交换。作为结论：
(181)
Ag(y)
= y x g
不是群作用
：它不符合上述公理。但它符合另一个，对应于
一个“反作用”。
(182)
对于矩阵：
(183
我们仍在寻找
作用和反作用。从x向量我们可以构造转置
向量并尝试：
(184)
这是一个作用
吗？让我们继续。
g" = g
x g'
(185)
(186)
这里我们使用线性微积分的一个定理：
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
其中M和N
是任意(n,n)矩阵。因此：
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
并且：
(189)
这是一个群
作用。现在考虑：
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
证明它是一个作用。
我们将考虑以下三个矩阵。
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
我们需要：
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
构造第一项：
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
或：
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
即：
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
这是一个群作用。
我们将按照Souriau称之为：
伴随作用
：
(193)
我们现在将考虑群在矩阵m上的一个反作用。
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
证明它满足：
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
构造第一项：
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
或：
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
即：
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
或：
(199)
g" -1
x
m x
g"
