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我们需要：
对偶作用。
我们在上面已经构建了一个作用：
(200)
一个反作用：
(201)
第一个可以作用于任意列向量m：
(202)
m' = g xm
第二个可以作用于任意行向量n：
(203)
n' = n
x g-1
m属于某个空间M
n属于另一个空间N。
构成标量：
(204)
S = n m
注意：
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
……我们会说所考虑的两个作用是对偶的。同样，m和n分别所属的两个空间M和N是对偶空间：
N = M* 或 M = N*
通常，我们说如果m是向量，n就是它的余向量。
前缀co是典型的对偶性标志。正如Souriau所指出的，对偶性存在于政治中，他还补充道：
- 对偶性从一开始就存在于马克思列宁主义中。想想“munist”和“communist”。
换一个视角。假设我们有一个作用，想要构建它的对偶。
示意地：
(206)
……为了与列向量m构成标量积，n必须是行向量。那么这两个向量必须由相同数量的标量来定义：
(207)
然后我们寻找对偶作用：
(208)
n' = Ag(n)
使得标量积：
(209)
保持不变。我们必须有：
(210)
n' m'
= n m
我们有：
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
其解为：
(213)
Ag(n)
= n x g-1
走向构建本质作用，或群在其动量上的余伴随作用（据Souriau）。
我们寻找群在其“动量空间”上的一个作用。我们将把它构建为一个反作用的对偶：
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
……在上一节中m是一个向量。但在(214)中它是一个矩阵。我们将取一个依赖于一定数量参数的矩阵：
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
我们必须设想一组对偶的标量：
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
使得：
(215)
示意地：
(216)
