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矩阵的选择
m。
……一个群 G 可以比作某个曲面。它依赖于一定数量的参数。设 P 为该群参数的空间，p 为该空间中的一点。这些参数 pi 的数量就是该群的维数。
(217)
图示：单位元 e（单位矩阵 1）。
我们可以给出一个增量 dp：
(218)
……然后我们对作为群元素的矩阵 g 求微分。我们得到一个不属于该群的方阵 dg。人们称之为“群的切向量”。这些切向量构成了人们所称的该群的“李代数”（顺便说一句，它并不是代数）。
我们选择在单位元附近求微分：
(219)
并且我们选择如下反作用：
(220)
AAg(m)
= g-1 x
dg(g=e) x
g
备注：
为什么我们选择群在 g = 1 处的切向量？
……我们本可以使用更一般的、群中任意点处的切向量 dg。我们会得到相同的结果，但计算会繁琐得多。
该群的维数为 n。矩阵 g 依赖于 n 个参数 { pi }。
李代数元素 dg(g=e) 依赖于相同数量的参数 {d pi}。
上述反作用的计算将给出映射：
(221)
{ d
pi
} -----> { d pp'i
}
我们引入相同数量的标量：
{ J i }
我们称这个集合为该群的动量 J。
J = { J i }
它是一个由 n 个量组成的集合，n 个标量。有时我们可以把它放入一个矩阵中（庞加莱作用在其动量上的作用）。
{ J i } 是与群的切向量对偶的余切向量 { d p i }。对偶性给出：
(222)
由标量积的这种守恒性，如果我们知道映射：
(223)
{ d
p
i } -----> { d p'
i }
我们就可以建立对偶映射：
(224)
{ J i } ----->
{ J 'i }
这就是我们所寻求的本质作用，而 Souriau 称之为该群在其动量空间上的余伴随作用。
说明这个概念的最好方式是给出一个例子：
庞加莱群在其动量空间 Jp 上的余伴随作用。
上面，我们给出了广义洛伦兹群。选择：
(225)
我们得到洛伦兹群 L，其元素 L 满足公理化定义：
(226)
时空向量为
(227)
取 c = 1，我们得到初等二次型，即闵可夫斯基度规：
(228)
逆矩阵为
(229)
现在引入一个时空平移：
(230)
我们如下构造庞加莱群 Gp 的元素 gp：
(231)
练习：证明它构成一个群，并计算逆矩阵：
(232)
李代数元素为
(233)
而反作用为：
(234)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
我们注意到
(235)
G d
L
是一个反对称矩阵。称之为：
(236)
由此：
(237)
令：
(238)
由此，我们可以构造反作用：
(239)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
它将给出映射：
(240)
(240b)
(240c)
就是所需的映射：
(241)
