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……庞加莱群 Gp 的一个元素 gp 由一组参数 {pi} 定义，按定义，其数目就是群的维数。矩阵 dg（g=e）由集合 {dpi} 构建。因此，前述映射对应于反作用：
(242)
AA：{dpi} --> {dpi'}
为了引入对偶性并构建对偶映射，我们假设标量保持不变：
(243)
庞加莱群的维数为 10，因此我们有十个标量 { Ji }，它们是矩 Jp 的分量。
Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
我们决定将其拆分为两个对象：
(244)
Jp= { M , P }
第一个 M 是一个 (4,4) 反对称矩阵。
P 是四维矢量 (4,1)
(245)
然后：
(246)
Jp= { M , P } = { M , p , E}
将标量积写作：
(247)
Tr 表示迹。标量积的恒定性给出
(248)
其中：
(249)
(249b)
(249c)
但 GG = 1。于是：
(250)
(250b)
(251)
即：
(252)
(252b)
(252c)
(253)
这个余伴随作用可以写成矩阵形式：
庞加莱群的元素是：
(254)
其转置为：
(255)
考虑矩阵：
(256)
写作：
(257)
(258)
(259)
它将被等同于矩阵：
(260)
那么 Jp 就是庞加莱群的动量，被放入一个矩阵中，而余伴随作用是：
(261)
练习：验证这是一个作用。
动量矩阵对应于：
(262)
反对称矩阵 M 的对角线由零组成。
(263)
它依赖于六个参数。
(264)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
让我们写出矩阵：
(265)
最后三个分量 ( fx , fy , fz) 构成 Souriau 所称的通过矢量 f：
(266)
前三个 ( lx , ly , lz) 是一个反对称矩阵 (3,3) 的独立分量，Souriau 称之为自旋矩阵。
(267)
由此：
(268)
矢量 P 是冲量-能量四维矢量：
(269)
那么庞加莱群的动量可以用其最一般的形式明确表示：
(270)
它拥有十个分量：
(271)
Jp = { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
